Integração Por Partes E Substituição

Etapa 2

-Elementos históricos e conceitos de integração por partes e por substituição.

Os conceitos básicos referente à integração surgiu-se na união do método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), que posteriormente foi desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.) com técnicas de cálculos da áreas irregulares e volumes que variam entre o extremo e o mínimo, sendo complementado posteriormente com os conceitos colocados em práticas por Isaac Newton (1642-1727) e também por Wilhelm Leibniz (1646-1716) que, historicamente, criaram o Cálculo Diferencial e Integral.

Integração por partes

O conceito de “Integração por Partes” é um método que nos permite mostrar a integral de um produto de determinadas funções em outra integral, por isto a origem deste nome “Integração por Partes”, pois, é possível ser vista como uma versão integrada da regra do seu produto.

Dedução da Fórmula para a Integração por Partes

Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,

Integrando ambos os lados, obtemos

ou

ou

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos

(1)

a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples.

Na prática, é usual reescrever (1) fazendo

u=f(x), du=f '(x)dx

,

Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1):

(2)

Exemplo

Calcule

Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma

Uma maneira de fazer isso é colocar

para que,

Deste modo,a partir de(2)

Integração por substituição

Método da Substituição.

Além de se integrar as funções com o uso das funções básicas, pela tabela de integração, há a possibilidade de se integrar funções mais complexas realizando-se reduções que possibilitam a solução através da tabela.

Um destes métodos é o método da substituição que é baseado na regra da cadeia da derivação.

Lembrando a regra da cadeia:

[F(g(x) ) ]^'=F^' (g(x) ).g(x), ou seja, F(g(x) )é uma primitiva de f(g(x) ).g^' (x).

Desta forma podemos integrar f(g(x) ).g^' (x) obtendo-se então F(g(x) )+c conforme podemos observar abaixo.

∫▒〖f(g(x) ).g^' (x)dx=F(g(x) )+c〗 (1)

Para simplificar a notação chama-se: u=g(x)

Substituindo-se em (1)

Diferenciando obtém-se: du=g^' (x)dx

∫▒〖(u).du=F(u)+c〗

Na prática devemos definir uma função u=g(x) conveniente de tal forma que a integral obtida seja mais simples, podendo ser resolvida através das funções básica.

Exemplo

∫▒√(2x+1)dx

Seja u=2x+1, então du=2dx ou dx = du/2

∫▒√u 1/2 du = 1/2 ∫▒u^(1/2) du = 1/2 u^(1/2+1)/(1/2+1) + C = 1/2 u^(3/2)/(3/2) + C

= u^(3/2)/3+ C = 〖(2x+1)〗^(3/2)/3 + C

Etapa 3

A busca de processos exatos ou mesmo aproximados para o cálculo da área S da região limitada por uma curva fechada deu a Arquimedes (cerca do século III a.C.) a glória de ser considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Com seu método de exaustão, conseguiu calcular áreas de regiões limitadas por inúmeros tipos de curvas.

Após Arquimedes, só no século XVII, por volta de 1670, é que surgiu o processo definitivo, com a invenção do Cálculo Integral, simultaneamente por Newton, na Inglaterra, e por Leibniz, na Alemanha.

A integral definida é utilizada para calcular a área entre uma curva – geralmente o gráfico de uma função – e o eixo x em um intervalo [a, b], mas ela também pode ser utilizada para calcular a área entre duas curvas que estejam no mesmo plano cartesiano.

Dadas duas funções, f(x) e g(x), ambas