Sistemas Lineares

: Resolução e Discussão de um Sistema Linear

O método de escalonamento de uma matriz vai servir como base para a resolução de sistemas lineares. Para isto, consideramos a matriz ampliada do sistema e escalonamos para obtermos uma matriz equivalente LRFE.

Exemplos:

1) A matriz ampliada do sistema é . Vamos escalonar esta matriz para obter a matriz equivalente LRFE

A última matriz da seqüência acima é uma matriz LRFE linha equivalente à matriz ampliada do sistema dado e corresponde à matriz ampliada do sistema .

O sistema final é equivalente ao sistema dado, logo têm as mesmas soluções. Portanto a solução do sistema é { ( 4, 3, -4 ) } Neste caso o sistema tem uma única solução

2) A matriz ampliada do sistema é . Vamos obter a matriz LRFE equivalente:

A matriz acima equivale ao sistema

Para cada valor atribuído a z, temos a n-upla que é solução do sistema.

O sistema tem infinitas soluções e é dito indeterminado.

3) A matriz associada ao sistema é . Vamos encontrar a matriz equivalente LRFE. :

A 3a linha da matriz LRFE corresponde à equação que nos leva a um absurdo 0 = 1!

Neste caso dizemos que o sistema não tem solução, ou que é impossível.

Discussão de um sistema

Vimos pelos exemplos anteriores que podemos ter várias situações para um sistema linear.

Vejamos o que acontece a um sistema de uma equação a uma incógnita: ax = b

1o ) Se a  0, temos que

2o ) Se a = b = 0, temos que qualquer número real é solução da equação.

3o ) Se a = 0 e b  0, ficamos com 0.x = b e a equação não tem solução.

No caso em que temos um sistema com duas equações e duas incógnitas, temos uma interpretação geométrica bastante simples das situações colocadas anteriormente.

As equações ( 1 ) e ( 2 ) podem ser interpretadas como duas retas no plano e temos as seguintes interpretações geométricas:

1o ) Solução Única

Retas se interceptam num único ponto

2o ) Infinitas Soluções

Retas coincidentes

3o ) Não existe solução

Retas Paralelas

Observação: Interpretação análoga pode ser dada a um sistema de 3 equações e três incógnitas. Neste caso cada equação representa um plano no espaço.

No caso geral temos que, dado um sistema ele poderá ter

i) Uma única solução e neste caso dizemos que o sistema é possível ( compatível, consistente ) e determinado.

ii) Infinitas soluções e neste caso dizemos que ele é possível e indeterminado.

iii) Nenhuma solução e neste caso dizemos que o sistema é impossível (incompatível, inconsistente)

Existe um número associado a uma matriz, através do qual podemos identificar em qual das três situações anteriores se enquadra um sistema, bastando para isto analisar as matrizes LRFE equivalentes às matrizes dos coeficientes e a matriz ampliada associadas ao sistema.

Definição: Dada uma matriz Amxn , seja Bmxn tal que, A ~ B e B é linha reduzida à forma escada. O posto de A, que denotaremos por p ( ou p(A) ) é o número de linhas não nulas de B.

Exemplos:

1) A = ~ . Temos assim que p(A) = 2

2) A = ~ = B. Temos que p(A) = 3

Observação: O posto p de uma matriz é sempre menor ou igual a n, isto é, p  n De fato, isto significa que o número de linhas não nulas de uma matriz LRFE não pode ser maior que o número de colunas da matriz, senão ela deixa de ter a forma LRFE.

Tente dar um exemplo de uma matriz LRFE em que p > n !!!!!

Consideremos as matrizes LRFE equivalentes às matrizes ampliadas dos 3 últimos sistemas resolvidos anteriormente.

Vamos indicar por pc – posto da matriz dos coeficientes e

pa – o posto da matriz ampliada.

1) ~

A matriz B acima é a matriz ampliada LRFE de um sistema com m equações ( m = 3) e n incógnitas

( n = 3)

pc = 3 = pa = 3 Sistema possível e determinado

2) ~ = B

A matriz B acima é a matriz ampliada LRFE de um sistema com m equações ( m = 3) e n incógnitas

( n = 4)

pc = 3 = pa < n = 4 Sistema possível e indeterminado.

3) ~ = B

A matriz B acima é a matriz ampliada LRFE de um sistema com m equações ( m = 3) e n incógnitas

( n = 3)

pc = 2  pa = 3 Sistema impossível.

A situação ilustrada nos exemplos acima vale geralmente e está enunciada a seguir: