A Região de Integração Definida Pelo Paralelepípedo

1ª questão

Calcular a integral tripla

∭(y+x)zdV

sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo

-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, -2 ≤ z ≤ 4

(y+x)z dx dy dz=  (yz + xz) dx dy dz=[pic 1][pic 2]

 (yzx + z)¹ dy dz =  [(yz +) - (-yz+)]dy dz=[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

 2yz dy dz = 2 yz dy dz =[pic 8][pic 9]

2 z  dz= z(1² + 0²)dz =[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

 zdz = = [(4²) - (-2)²]=[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

(16-4) = = 6[pic 18][pic 19]

2ª questão

Calcular a integral

∭(x²+y² )dV, em que T é a região de integração interior ao cilindro x² + y² = 4  e à esfera x² + y² + z² = 9 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução).

(x,y,z)  (r,θ,z)[pic 20]

(x²+y²) dv = r² (r dr ddz)[pic 21][pic 22][pic 23]

r³dz dr d =[pic 24][pic 25]

 r³[] dr d= [pic 26][pic 27][pic 28]

2 r³ dr d=[pic 29][pic 30][pic 31]

9-r² = u r² = 9-u[pic 32]

2r dr = -du

r = 0 u = 9 [pic 33]

r = 2 u = 5[pic 34]

(9-u) u^½ - =[pic 35][pic 36]

-(9 u^3/2/2) - u^5/2/5/2)=[pic 37]

-(20- 162+ 486/5) = -(20 - 324/5)[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

logo: 2 r³ dr d = [pic 42][pic 43][pic 44]

2 [-(20 - 324/5)]d=[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

-2 (20 - 324/5) = 40,16 = 126,2[pic 49][pic 50][pic 51]

 

3ª questão

Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo.

[pic 52]

z= -x + 3[pic 53]

z= -3y + 3

y= -+ 1[pic 54]

Achando as equações das retas

z= ay + b

0= a(1) + b a= -b[pic 55]

3= a(0) - a a= -3[pic 56]

z= -3y + 3

y= ax+ b

1= a(0) +b b= 1[pic 57]

0= a (2) +b = 2a+1

a= -½

y= -½x + 1

z= ax+b

0= a(2) + b b= -2a[pic 58]

3= a(0) + b b= 3[pic 59]

z= -3/2 x + 3

V= (-- x - - -  + 3) dx=[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

( - x +   ) dx = (- x +) dx=[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73]

...