A Representações no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares Invariantes

Análise de Sistemas Lineares

PROF. PEDRO BAPTISTA FERNANDES

Coordenação do Curso de Engenharia da Computação

Representações no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares Invariantes

no Tempo (SLIT)

Parte 1 - Resposta ao Impulso

Representações em Domínio de Tempo para

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

Representações em Domínio de Tempo para Sistemas

Lineares e Invariantes no Tempo

• Neste tópico focaremos na representação de domínio do tempo das relações

de entrada-saída de um sistema linear e invariante no tempo (LIT).

• Tais descrições servem para que possamos analisar e prever o

comportamento de um sistema.

• Aqui, o foco está nas descrições de sistemas que relacionam o sinal de saída

ao de entrada, quando ambos os sinais são representados como funções de

tempo; por isso, a terminologia “domínio do tempo”.

• Métodos para relacionar saída e entrada de sistemas para domínios que não

são de tempo serão apresentados nos capítulos posteriores.

Representações em Domínio de Tempo para Sistemas

Lineares e Invariantes no Tempo

• Existem diversos métodos que se relacionam e cada um deles oferece a solução

mais profunda e direta para um dado problema.

São eles:

1. Resposta ao impulso;

2. Equação diferencial linear ou de diferenças de coeficientes constantes;

3. Diagrama de blocos;

4. Variáveis de estado.

Representações em Domínio de Tempo para Sistemas

Lineares e Invariantes no Tempo

• Todas as quatro representações de sistemas em domínio de tempo são

equivalentes em termos de que saídas idênticas resultam de uma entrada dada.

• Porém, cada uma relacionada a entrada e a saída de uma maneira diferente.

• Diferentes representaçãoes oferecem diferentes visualizações do sistema, sendo

que cada uma oferece diferentes percepções sobre o comportamento do sistema.

• Cada representação tem vantagens e desvantagens para analisar e implementar

sistemas.

Resposta ao Impulso

Representações em Domínio de Tempo para Sistemas

Lineares e Invariantes no Tempo

• Definição de resposta ao impulso de um sistema.

• Como um sistema se comporta quando aplicamos um impulso na sua entrada.

• A partir de tal caracterização, podemos explorar as propriedades de sistemas LIT

para caracterizar a saída do sistema para outro tipo de entrada.

• A saída para qualquer outra entrada será dada por uma superposição ponderada

de respostas ao impulso deslocadas no tempo.

Resposta ao impulso

• A resposta ao impulso é a saída de um sistema LTI devido a uma entrada do

tipo impulso aplicada em t = 0 ou n = 0.

• A resposta ao impulso caracteriza de maneira completa um sistema.

• Isto advém do fato de tratarmos sistemas LIT neste caso.

• A resposta ao impulso de um sistema em que sua configuração é conhecida

pode ser determinada de maneira analítica.

• Em sistemas desconhecidos determinamos sua resposta ao impulso através da

aplicação de um impulso na sua entrada.

• Devido a impossibilidade de se criar um impulso real, utiliza-se um

sinal de grande amplitude e curta duração.

Resposta ao impulso

• Aqui devemos atentar para o fato de que estamos tratando de sistemas LIT.

• Já que o sistema é linear, se sabemos a saída do sistema quando é submetido a

um impulso qualquer, podemos saber a saída quando aplicamos um impulso

escalado, ou soma de impulsos.

• Já que o sistema também é invariante no tempo, se sabemos a resposta do

sistema para um impulso localizado em t, também sabemos sua reposta para

um impulso aplicado em t−t0.

• A saída para qualquer outra entrada será dada por uma superposição

ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo.

Resposta ao impulso

• A superposição ponderada é chamada de:

• Soma de convolução, para Sistemas discretos

• Integral de convolução, para Sistemas contínuos

A Soma de Convolução

A Soma de Convolução

A Soma da Convolução

Considere a multiplicação de um sinal x[n] e um impulso δ[n], descrita como

x[n]δ[n] =x[0]δ[n]

O lado direito da equação é obtido porque δ[n] é diferente de zero apenas em

n