A Trigonometria no Triângulo Retângulo

Um curso de trigonometria[pic 1][pic 2]

1. Trigonometria no triângulo retângulo

        Permite relacionar os ângulos internos com os lados do triângulo retângulo.

        Considere o triângulo retângulo ABC abaixo.

[pic 3]

Podemos destacar os seguintes elementos:

• Hipotenusa  Maior lado do triângulo (BC). Observe que ele estará sempre de frente ao maior ângulo, no caso, 90°.[pic 4]
• Catetos  São os demais lados do triângulo retângulo (AB) e (AC).[pic 5]

Podemos destacar, também, as razões trigonométricas. Essas razões nos ajudarão a calcular e relacionar os lados com os ângulos internos do triângulo retângulo.

Ângulo agudo [pic 7][pic 6]

• [pic 8]
• [pic 9]
• [pic 10]

Ângulo agudo [pic 11]

• [pic 12]
• [pic 13]
• [pic 14]

1.1. Ângulos complementares

        No triângulo retângulo ABC da figura, , ou seja,  são ângulos complementares. Tem-se:[pic 17][pic 15][pic 16]

• [pic 18]
• [pic 19]

Assim, fica fácil ver que:

• [pic 20]
• [pic 21]
•  [pic 22]

1.2. Ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°

        São os ângulos de fácil identificação no triângulo retângulo.

        Podemos resumir os valores de seno, cosseno e tangente na tabela abaixo.

	30°	45°	60°
Seno	[pic 23]	[pic 24]	[pic 25]
Cosseno	[pic 26]	[pic 27]	[pic 28]
Tangente	[pic 29]	[pic 30]	[pic 31]

1.3. Hora de praticar!

1. Responda aos itens a seguir.

        I. Calcule a soma dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 cm e .[pic 32]

[pic 33]

        II. Para o triângulo retângulo BAC, a relação correta é:

a)            d) [pic 36][pic 34][pic 35]

b)             e) [pic 37][pic 38]

c) [pic 39]

2. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:

a) 2 km[pic 40]

b) 3 km

c) 4 km

d) 5 km

e) 6 km

3. O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60°. Sabendo que a árvore está distante 100 m da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta?[pic 41]

a) 50 m

b) 100 m

c) 200 m

d) 300 m

e) 400 m

4. Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir. Se RS = 100, quanto vale PQ?[pic 42]

a) [pic 43]

b) [pic 44]

c) 50

d) [pic 45]

e) [pic 46]

5. Trafegando em um trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60°, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90°, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km. Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada?

Dados: [pic 48][pic 47]

a) 463,4 m

b) 535,8 m

c) 755,4 m

d) 916,9 m

e) 1071,6 m

2. Lei dos senos e lei dos cossenos

        Permite relacionar os ângulos internos com os lados de um triângulo qualquer.

2.1. Lei dos senos

        Considerando um triângulo ABC de lados a, b e c respectivamente opostos aos vértices A. B e C.

[pic 49]

[pic 50]

Dica: Nos problemas, serão dados mais valores de ângulos do que lados.

2.2. Lei dos cossenos

        Considerando um triângulo ABC de lados a, b e c respectivamente opostos aos vértices A. B e C.

[pic 51]

•  [pic 52]
• [pic 53]
• [pic 54]

2.3. Hora de praticar!

1. As cidades A, B e C estão dispostas de tal forma que, no triângulo ABC, o ângulo A mede 30° e o ângulo B mede 105°. Se a distância de A a B é 30 km, determine a distância de B a C.

Dados: [pic 55]

a) 14 km

b) 21 km

c) 30 km

d) 45 km

e) 54 km

2. Partindo do ponto A, caminhou-se 5 km em linha reta, desviou-se 60° para a esquerda e caminhou-se mais 8 km em linha reta, chegando ao ponto B, como se vê no esquema ao lado. Qual é a distância aproximada entre os pontos A e B?[pic 56]

a) 9 km

b) 11 km

c) 13 km

d) 15 km

e) 17 km

3. Considerando que o perímetro de um triângulo inscrito em um círculo mede 20x e que a soma dos senos de seus ângulos internos seja igual a x, então a área do círculo, em cm², será igual a:

a) [pic 57]

b) [pic 58]

c) [pic 59]

d) [pic 60]

e) [pic 61]

4. Um navio, velejando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol em L e calcula o ângulo LAC como sendo 45°. Após navegar 4 milhas, atinge o ponto B, em que o ângulo LBC é de 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?