ATPS CALCULO II

ETAPA 3

Passo 1

Criar um nome e slogan para a empresa de consultoria e assessoramento em engenharia que você e sua equipe decidem abrir. A empresa “Soy Oil”, desejando inovar, na apresentação de sua nova linha de óleo para cozinha, contrata vocês para criarem uma nova embalagem da lata, a qual deverá armazenar o produto. Depois de muito pensarem, vocês decidiram que a lata deverá ser construída de forma que seja um cilindro circular reto de volume máximo que possa ser inscrito em uma esfera de diâmetro D = 1*cm, onde D é uma dezena do intervalo [10, 19], em que o algarismo da unidade (*) é dado pelo maior algarismo dos algarismos que compõe os RA’s dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo é uma dupla com os seguintes RA’s 100456012 e 1000032467, observa-se que o maior algarismo presente nos RA’s é o 7, portanto deve-se usar D = 17. Lembre-se que D = 2.R Com base nessas informações e admitindo que 1 litro = 1 dm3, utilizando a regra do produto para derivação, calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o volume de óleo que ela comporta. Observar a figura abaixo. Notar que a altura da lata (H) é igual a soma de h + h, ou seja: H = 2h

Solução: Seja r o raio da base e 2h a altura do cilindro.

Então,

(dV )/dr=2π(r^2 dh/dr) e

2r + 2h dh/dr =0

Podemos dizer que dh/dr=-r/h

Logo:

dV 3 π

dV/dr=2π(-r^3/h+2rh)

Quando V for máximo,

dV/dr=2π(-r^3/h+2rh)=0 →r^2=2h^2 →2h^2+h^2=R^(2 ) →h=R/√3

A altura do cilindro será

2h = 2R/√3

Considerando o maior numero entre os R.A’s o 9 (nove)

Então o diâmetro é 19 sendo o R = 9,5, substituindo na Altura do cilindro:

2h = (2 x 9,5)/√3

h = 5,48

A altura máxima da lata é H = 2h, logo H = 2X5,48 H = 10,97

Achando o raio da base do cilindro:

R² = h² + r²

9,5² = 5,48² + r²

90,25 – 30,03 = r²

r = 7,76

Calculando o volume do cilindro:

Vc = πr^2 H

Vc = 3,14 X 7,76² x 19

Vc = 462,97cm³ ou 0,46297 dm³

Passo 2

Fazer um layout com escala, representando a lata de óleo do passo 1 e criar um protótipo em tamanho real. Fazer um relatório justificando de forma positiva a utilização dessa nova embalagem, que deverá ser apresentada a diretoria da empresa “Soy Oil”.

TA FALTANDO O LAYOUT

Passo 3

Analisar o texto abaixo e responder a pergunta:

A empresa “Soy Oil” adquiriu uma nova máquina para evasão do óleo dentro das latas que serão comercializadas. O bico da envasadura é em formato de uma pirâmide hexagonal regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base de 10 cm. O óleo escoa por meio de uma pequena abertura no bico da pirâmide, após a pirâmide atingir seu volume máximo. Sabendo que o óleo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s. Com que velocidade o nível do óleo estará se elevando quando atingir 20 cm de altura?

V(t) = 3/2 a^2 √3 h

V, a e h são todas funções de t. Como a água está vazando a uma taxa de 3cm^3/seg., (dV(t))/dt = 3(cm^3)/(seg.) . Queremos determinar dh/dt quando h = 20cm. Para expressar “a” em termos de “h”, temos dois triângulos semelhantes,

a/h = 10/50 → 5a = h → a = h/5

Logo,

→ V(t) = 3/2 (h/5)^2 √3 h → V(t) = 1/50 √3 h^3

Então,

→ dV/dt = 3/50 √3 h^2 dh/dt

Substituindo (dV(t))/dt = 3 〖cm〗^3/seg e resolvendo

→ dV/dt = (9 √(3 ) h^2)/50 x dh/dt

→ dh/dt = dV/dt x 50/(9 √3 h^2 )

→ dh/dt = 150/(9 √3 h^2 )

Logo, ├ dh/dt] h_(=20) = 150/(9 √3 (〖20〗^2)) = 0,024cm⁄s

Assim sendo o nível de água está vazando a uma taxa de 0,024 cm/s quando a profundidade do óleo for de 20cm.

Passo 4

Calcular qual é o volume máximo de óleo que cabe no bico? Qual é a velocidade com que o nível do óleo estará se elevando quando atingir 45 cm de altura? Fazer um relatório com todos os cálculos realizados nos quatro passos da Etapa 3, para entregar ao seu professor.

Solução:

V(t) = 3/2 a^2 √3 h

V, a e h são todas funções de t. Como a água está vazando a uma taxa de 3cm^3/seg., (dV(t))/dt = 3(cm^3)/(seg.) . Queremos determinar dh/dt quando h = 20cm. Para expressar “a” em termos de “h”, temos dois triângulos semelhantes,

a/h = 10/50 → 5a = h → a = h/5

Logo,

→ V(t) = 3/2 (h/5)^2 √3 h → V(t) = 1/50 √3 h^3

Então,

→ dV/dt = 3/50 √3 h^2 dh/dt

Substituindo (dV(t))/dt = 3 〖cm〗^3/seg e resolvendo

→ dV/dt = (9 √(3 ) h^2)/50 x dh/dt

→ dh/dt = dV/dt x 50/(9 √3 h^2 )

→ dh/dt = 150/(9 √3 h^2 )

Logo, ├ dh/dt] h_(=45) = 150/(9 √3 (〖45〗^2)) = 0,005cm⁄s

Assim