Algebra Linear ATPS

[pic 1]

Engenharia Mecânica                      2010

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Centro Universitário de Santo André – UNIA

Álgebra Linear

ATPS 2

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1. Considere em R3    o conjunto S = {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (1, 2,3)}

1. Mostre que o vetor (2, 3, 4) é combinação linear dos vetores S.

Resolução:

(2,3,4) = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(1,2,3)

(2,3,4) = (a,a,a) + (0,b,b) + (c,2c,3c)

(2,3,4) = a+0+c, a+b+2c, a+b+3c)

a+c=2[pic 2]

a+b+2c=3   (linha 2 x (-1)  + linha 3)

a+b+3c=4

a+c=2

-a-b-2c=-3[pic 3][pic 4]

a+b+3c=4[pic 5][pic 6]

c=1[pic 7]

a+c=2     a+1=2        a=1[pic 10][pic 8][pic 9]

[pic 11]

a+b+2c=3  1+b+2.1=3   b=3-1-2   b=0[pic 12][pic 13][pic 14]

Verificando

(2,3,4) = 1(1,1,1) + 0(0,1,1) + 1(1,2,3)

(2,3,4) = (1,1,1) + (0,0,0) + (1,2,3)

(2,3,4) = (1+0+1), (1+0+2) + (1+0+3)

(2,3,4) = (2,3,4)

O vetor (2,3,4) é comb. linear dos vetores S

b. Considere em R3  o conjunto T = {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (1, 2, 2)}.

Mostre que o vetor (0, 1, 3) não é combinação linear dos vetores T.

Resolução:

(0,1,3) = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(1,2,2)

(0,1,3) = (a,a,a) + (0,b,b) + (c+2c+2c)

(0,1,3) = (a+0+c),(a+b+2c),(a+b+2c)

a+c=0[pic 15]

a+b+2c=1   (linha 2 x (-1)  + linha 3)

a+b+2c=3

a+c=0

-a-b-2c=-1[pic 16][pic 17][pic 18]

a+b+2c=3[pic 19][pic 20][pic 21]

0=2[pic 22][pic 23]

O sistema de equação não tem uma solução real.

Portanto o vetor (0,1,3) não é uma combinação linear de T.

1. Considere em P2 (espaço dos polinômios com grau ≤ 2) o conjunto S = {1 + t, 1 − t2}.

1. Mostre que o vetor  t + t2  é combinação linear dos vetores de S.

Resolução:

(t+t2) = a(1+t) + b(1-t2)

(t+t2) = a+at+b-bt2

(t+t2) = (a+b)+at-bt2[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37][pic 38]

a+b=0     [pic 39][pic 40]

at=t    a=1[pic 42][pic 41]

-bt2=t2    -b=1    b=-1[pic 43][pic 44]

a+b=0     -1 + 1 = 0     OK[pic 45]

Portanto t + t2  é combinação linear dos vetores de S.

1. Mostre que o vetor  t  não é combinação linear dos vetores de S.

Resolução:

t = a(1+t) + b(1-t2)

t = a+at+b-bt2

t = at+(a+b-bt2)[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55]

at=t    a=1[pic 57][pic 56]

a+b-bt2=0

Como o sistema é inderterminado (2 equações 3 incógnitas [a,b,t]) há outras soluções além do trivial, não é combinação linear.

1. Decida quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente independentes:

1. Em R4, v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1),[pic 58][pic 59][pic 60]

 v4 = (0, 1, 0, 1).[pic 61]

Resolução:

a(1,1,0,0)+b(1,0,1,0)+c(0,0,1,1)+d(0,1,0,1) = (0,0,0,0)

(a,a,0,0) + (b,0,b,0) + (0,0,c,c) + (0,d,0,d) = (0,0,0,0)

a+b=0[pic 62]

a+d=0

b+c=0

c+d=0

a = -b[pic 63][pic 64]

a + d = 0