As Variáveis Complexas Geraldo Ávila Resolução

Livro: Vari´aveis Complexas e Aplica¸co˜es - LTC

(Geraldo Avila)´

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Resolvido por Diego Oliveira e compilado dia 25/04/2017

Solucion´ario (em construc¸˜ao) da 3a edi¸c˜ao do livro de Vari´aveis Complexas e aplicac¸˜oes do autor: Geraldo Avila.´[pic 1]

Para quem desejar; uma c´opia do livro pode ser baixada em:

http://www.bibliotecadaengenharia.com/2014 /08/variaveis-complexas-geraldo-avila.html

A postagem de novas soluc¸˜oes desse livro depende muito da quantidade de visualiza¸c˜oes e downloads que esse pdf obter. Sendo assim, pode haver atrasos na postagem. De todo modo, n˜ao deixe de acompanhar o documento no link abaixo, para obter futuras atualiza¸c˜oes. www.number.890m.com

[pic 2]

Sum´ario

1. Nu´meros Complexos        2

1.1        EXERC´ICIOS DA PAGINA 7´        . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        2 1.2        EXERC´ICIOS DA PAGINA 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        16 1.3        EXERC´ICIOS DA PAGINA 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        25

        1.4        EXERC´ICIOS DA PAGINA 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        32

1. Nu´meros Complexos

1. EXERC´ICIOS DA PAGINA 7´

Reduza a forma a + bi cada uma das express˜oes dadas nos Exerc´ıcios: 1 a

11.

1. (3 + 5[pic 3][pic 4]

7. 7

1. (
2. (
3. (3

5.

6. 3

Solu¸c˜ao de 1:

(3 + 5i) + (−2 + i)

= (3 + (−2)) + (5i + i) = 1 + 6i

Solu¸c˜ao de 2:

(−3 + 4i) − (1 − 2i)

= (−3 + 4i) + (−1 + 2i)

= (−3 + (−1)) + (4i + 2i) = −4 + 6i

Solu¸c˜ao de 3:

[pic 5]

Solu¸c˜ao de 4:

(3 − 5i)(−2 − 4i)

= 3(−2) + 3(−4i) − 5(−2) + 5(4i)

= −6 − 12i + 10 + 20i

= (−6 + 10) + (20i − 12i)

= 4 + 8i

Solu¸c˜ao de 5:

[pic 6]

Solu¸c˜ao de 6:

[pic 7]

Solu¸c˜ao de 7:

[pic 8]

Solu¸c˜ao de 8:

(2 + 3i)2

= (2 + 3i) · (2 + 3i)

= 2(2) + 2(3i) + 3i(2) + 3i(3i)

= 4 + 6i + 6i + 9i2

= 4 + 6i + 6i + 9(−1)

= 4 + 6i + 6i − 9

= (4 − 9) + (6i + 6i)

= −5 + 12i

Solu¸c˜ao de 9: An´aloga a anterior

Solu¸c˜ao de 10:

(1 + i)3

= (1 + i)(1 + i)(1 + i)

= (1 + 1(i) + i(1) + i(i))(1 + i)

= 1 + i + i + i2)(1 + i)

= (1 + 2i + (−1))(1 + i)

= (1 + 2i − 1)(1 + i)

= 2i(1 + i)

= 2i(1) + 2i(i)

= 2i + 2i2

= 2i + 2(−1) = −2 + 2i

Solu¸c˜ao de 11:

1 + 2i + 3i2 + 4i3 + 5i4 − 6i5

= 1 + 2i + 3(−1) + 4(−i) + 5(i2)2 − 6(i2)2 · i

= 1 + 2i − 3 − 4i + 5(−1)2 − 6(−1)2 · i

= 1 + 2i − 3 − 4i + 5 − 6i

= (1 − 3 + 5) + (2i − 4i − 6i)

= 3 + (−8i)

= 3 − 8i

N

12. Mostre que X in = 1; = −i, i ou zero, conforme o resto da divis˜ao de

n=0

N por 4 seja 0, 1, 2 ou 3, respectivamente.

Solu¸c˜ao:

Para entender a resolu¸c˜ao desse problema vamos partir de uma solu¸c˜ao particular. Supondo N = 8 ent˜ao, por hip´otese, o resultado do somat´orio deve ser 0, pois 4|8.

[pic 9]

[pic 10]

como i4p+r = ir ent˜ao

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Com base nesse exemplo em particular podemos pensar que se N > 8 e 4|N

ent˜ao

N

X in = i0 + i1 + i2 ··· + iN−1 + iN

n=0

Como teremos um somat´orio com n + 1 termos isolando o primeiro termo poderemos criar 4 grupos.

N

X in = i0 + (i1 + i2 + ··· + iN−1 + iN)