Atps de calculo 3

Etapa 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral indefinida

Passo 1

Como e quando surgiram as integrais?

Em meados de 440ª.C Hipócrates de Chios ao encontrar a área de certas lunas (regiões que se parecem com a lua no seu quarto crescente), executou as primeiras quadraturas da história. Mas o que vem a ser quadratura? Quadratura é um processo pelo qual se calcula área de uma região bidimensional na qual a fronteira consiste de uma ou mais curvas. Por volta de 430ª.C Antifon, tentou encontrar a quadradura de um circulo utilizando a sequência de inúmeros polígonos dando origem ao “método da exaustão” creditado a Eudoxo mais de 2000 anos depois que desenvolveu este método com uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos.  

A partir do método da exaustão, Arquimedes encontrou a quadradura da parábola, ele aproximou a área com um número grande de triângulos construídos de forma engenhosa usando o argumento de “redução ao absurdo”dupla. Arquimedes conseguiu também encontrar a área do círculo, através do método da exaustão, “integrações” foram realizadas por Arquimedes com o intuito de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume e superfície do cone a área delimitada por uma elipse, o volume de um paraboloide e o volume de um hiperboloide de revolução.

No final do século XVI houve mais uma contribuição para o Calculo Integral quando a Mecânica levou vários matemáticos a tentarem resolver problemas relacionados com o centro da gravitacional. Em Roma, Luca Valério utilizou o mesmo método para resolver problemas de cálculo de áreas parecidas.

O astrônomo matemático Kepler, durante seus estudos sobre o movimento dos planetas, precisou encontrar áreas de setores de uma região elíptica. Seu método consistia em pensar na superfície como soma de linhas o que gerava muita imprecisão. Sempre se pensava na soma de fatias planas para calcular volumes de sólidos. Assim calcularam-se os volumes de vários sólidos; para o cálculo de cada um deles Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma destes infinitésimos se aproximava do volume real. Depois de Kepler outros matemáticos contribuíram para o surgimento do Cálculo Integral como Fermat e Cavalieri. Este último pensava na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos “indivisíveis”, foi ele quem mostrou com seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: [pic 1].

Os trabalhos desenvolvidos por Cavalieri foram “aritmetizados” por Wallis, que desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar, dentre outros, a antecipação do trabalho de Euler sobre a função gamma.

Já a técnica, de achar a área sob as “parábolas maiores”: Ex: [pic 2] , onde k>0 é constante e n= 2,3,4... etc. A fórmula geral da integral das palavras, já era conhecida por Fermat, Blaise, Pascal, Descartes, Torricelli e outros por volta de 1640.

Desde Galileu, o problema do movimento havia sendo estudado, a idéia da operação inversa da derivada surgiu, então naturalmente. Torricelli e Borrow já haviam considerado o problema da velocidade, porém, foi Newton que formulou o “Teorema Fundamental do Cálculo”. Newton desenvolveu o cálculo, mais ou menos 10 anos antes de Leibniz. Desenvolveu o método das “fluxions” e fluentes (derivação e integração), utilizando-o na construção da mecânica clássica. A representação das integrais por Newton, eram feitas com um acento grave sobre a letra em questão. Ex: integral de x= `x. Já Leibiniz, usava a integração como uma soma, parecida com Cavalieri, daí o símbolo ʃ - como se fosse um “S” longo. Ele disse: “represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abcissas...e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por [pic 3]”.

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