Cálculo III Integral definida e integral indefinida


Faculdade Anhanguera de Jundiaí (FPJ)


Cálculo III

Integral definida e integral indefinida


Alexandre da Rocha Martins – RA 5212964472 – Eng. Controle e Automação
Bruna Raquel Pereira Pardim – RA 5207956456 – Eng. da Produção
Daniele Jacinto dos Santos – RA 5294110637 – Eng. da Produção
Diego Fernando Queiróz – RA 5823154773 – Eng. Controle e Automação
Izabel Cristina dos Santos Pazin – RA 5294110663 – Eng. da Produção
Shara Helen Conde de Jesus – RA 5825150411 – Eng. da Produção
Valquir Rodrigues – RA 5833178591 – Eng. Controle e Automação

Profº: Maria Angélica
Jundiaí, 25 de novembro de 2013

ETAPA 1

INTEGRAL INDEFINIDA 1.1
Primitiva de uma função Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um Intervalo I, se para todo.

x ∈ I , temos: 
F ' ( x) = f ( x) 
É possível definir que as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando os intervalos não são explícitos e refere-se a duas primitivas da mesma função f(x), entende-se que essas funções são primitivas de f(x) no mesmo intervalo. Exemplo 1: F(x) = x² é uma primitiva de f(x) = 2x, ∫ 2 xdx = 2 x 2 Exemplo 2: F(x) = 3x³ é uma primitiva de f(x) = 9x², ∫ 9 x 2 dx = 3x 3 Porém a mesma função 2x pode ter outras primitivas, por exemplo, F(x) = x²+2..., com isso, é possível concluir que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Para tanto se adota na primitiva de todasas funções +C, mostrando que pode haver alguma constante não considerada na expressão original. De acordo com esta notação o símbolo 

∫ 

é chamado de sinal de Integração. 

O processo que permite achar a Integral Indefinida é chamado de Integração. O símbolo dx que aparece na função a ser Integrada serve para identificar a variável de Integração. Portanto, conclui-se que para calcularmos as primitivas, devemos seguir as instruções descritas abaixo: [ n x ] = x ∗ n x−1 
n ∫ x dx = 

x n+1 +C n +1 

Assim, demonstramos os cálculos dos exemplos apresentados anteriormente: Exemplo 1: 

x 2 = 2 x → ∫ 2 xdx 2∫ xdx 

2x2 = x2 + C 2 








Exemplo 2: 

3x 3 = 9 x 2 → ∫ 9 x 2 dx 9∫ x 2 dx 
9x3 = 3x 3 + C 3 

1.2 Definição de Integral Indefinida

Todas as primitivas de f(x) são da forma F(x) + C. Para isso, usa-se uma notação para a primitiva geral que parece com uma integral definida, mas sem os limites, ela é chamada de integral indefinida: 

∫ f ( x)dx = F ( x) + C 
É importante compreender a diferença entre: 

∫ f ( x)dx 
b 

a 

e 

∫ f ( x)dx 

A primeira é um número e a segunda é uma família de funções. A palavra “integração” é utilizada, frequentemente, para o processo de encontrar uma primitiva. Em geral, o contexto deixa claro qual o processo está em consideração. 

1.3 Teorema da Função Constante

Se f é constante em um intervalo,sabe-se que f’(x)=0 nesse intervalo> Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Se f’(x)=0cm (a,b), então f é constante em [a,b]. Quando tem-se f’(c)=0, significa que f(x1)-f(x2)=0, logo, f(x1)=f(x2) para a≤ x1< x2≤b, de modo que a função é constante. 

1.4 Função polinomial 

Função polinomial é quando existe mais que um termo a ser integrado, ou seja, que a função a ser integrada possui alguma operação matemática, abaixo é apresentado um exemplo de uma função polinomial, no qual existe uma soma a ser integrada: Exemplo: 
3 ∫ x + 2 x + 3dx = 

x4 + x 2 + 3x + C 4 


1.5 Expoente da função polinomial diferente de -1 

O expoente na função polinomial deve ser diferente de -1, pois se fosse igual a 1 o 

x0 resultado seria , isso pode ser verificado através da diferenciação, conforme apresentado 0 
abaixo: 

d x n+1 (n + 1) x n ( )= = xn dx n + 1 n +1 
Na notação de integral indefinida, mostra-se que: 
n ∫ x dx = 

x n+1 + C , n ≠ −1 n +1 x −1+1 x0 = =∉ −1+1 0 

Pois, se calcular o expoente n=-1, teria: 
−1 ∫ x dx = 

1.6 Propriedades da Integral Indefinida: 

Somas e Múltiplos Constantes As integrais indefinidas possuem algumas propriedades, segue abaixo as fundamentais: 1ª Uma primitiva da soma (ou diferença) de duas funções é a soma (ou diferença) de suas primitivas: 

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 
Exemplo: 
2 2 ∫ x + 2dx = ∫ x dx + ∫ 2dx = 

x + 2x + C 3 



2ª Umaprimitiva de uma constante vezes uma função é a constante vezes uma primitiva da função: 

∫ cf ( x)dx = c∫ f ( x)dx 
Exemplo 2: 
3 3 ∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 

4x4 = x4 + C 4 



1.7 Integrais imediatas 

A seguir são apresentadas algumas integrais simples e imediatas: 

∫ dx = x + c 


n ∫ x dx = 

x n+1 + C , ≠ −1 n +1 

∫ 

dx = ln( x) + C x 
ax + C , a • 0, a ≠ 1 ln a 
x 

x ∫ a dx = 

∫ e dx = e 
x 

+C 

∫ sen( x)dx = − cos( x) + C ∫ cos( x)dx = sen( x) + C 


















INTEGRAL DEFINIDA 2.1

Definição de Integral Definida como Área Realiza-se cálculo através de integração para determinar a área de uma figura plana qualquer. Uma distância percorrida pode ser aproximada por somas e representada exatamente como o limite de uma soma. Para determinar a área de uma região plana, que não possua uma forma geométrica conhecida, divide-se o intervalo entre o início e o final da área em vários subintervalos de comprimentos iguais, na forma de retângulos, então soma-se as áreas dos retângulos e se obtém a área total, que pode ser representada da seguinte forma: A=A 1+A2+A3+...+An e visualizado na figura abaixo: 

a 

b 

Conforme apresentado na figura, pode-se definir que área debaixo do gráfico de f é entre a e b= ∫ f ( x)dx . 
a b 


ETAPA 2
Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.
Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, atécnica de integração por substituição e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Equipe)
Façam as atividades apresentadas a seguir.
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.
2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
Integral
O propósito de usar a técnica de integração por partes e por substituição é transferir essa integral para uma integral, a qual se espera que saibamos calcular dessa forma estes processos são ferramenta poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções.
Dada a integral
Assim, ao integrar por partes uma integral de forma Sempre devemos escolher quem será a função u entre as funções f (x) e g (x) no integrando acima surge àpergunta “Como fazer esta escolha”.
A revista Americana Mathematical Monthly publicou o seguinte diagrama LIATE.
L→Logarítimas.
I→Inversas de trigonométricas.
A→Algébricas.
T→Trigonométricas.
E→Exponenciais.
LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções, a estratégia a ser adotada é:
“Escolher como função U, a função cuja letra inicial esta mais próxima de L e para forma diferencial dv escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E”.
1-Na integral Escolhemos U=X(Álgebra) e dv=cos x.dx (trigronometrica), pois no diagrama acima, A precede T.
2-Na integral lnx. dx→Escolhemos=lnx (logarítmicas) e dv=·. dx (Algébrica) pois L precede A no diagrama LIATE.
3-Na integral Escolhemos U=arc. sinx (Inversa trigonométrica) e du=x.dx (Algébrica)
Já a técnica de integração por substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variável U=g (x), onde g(x) é uma função qualquer continua no domínio da integração. Fazendo du=g`(x) dx:.
Esta técnica, que e fruto da regra da cadeia para derivadas, e muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções onde uma e derivada da outra (Podendo difere de uma constante).
-Faça uma escolha para U. (exemplo U=g (x))
-Calcule du/dx=g`(x)
-Faça a substituição U=g(x). du=g´(x). dx(Neste ponto a integral deve estar em termos de U. Se isso não acontecer,deve-se tentar uma nova escolhapara U)
-Calcule a integral resultante se possível.
-Substituir U por g(x), assim a resposta final estará em termos de x.
Considere a integral ·. dx
Usando a substituição.
X=4 senθ·, obtêm dx=4 cosθ·. dθ
∫θ) 4 cos θ·. dθ
16∫θ··. dθ
A integral de cosseno ao quadrado pode ser feita utilizando a integração por partes.
U=cosθ dv=cosθ
∫.θ·. dθ=cosθ senθ +∫θ.dθ
∫.θ.dθ=cosθ senθ +∫1.dθ-∫.θ.dθ
∫θ··. dθ=+
Voltamos à equação original 
16∫θ··. dθ=16 +
Agora deve se voltar à incógnita original, isso pode ser feito transpondo o Ângulo θ para um triangulo retângulo. Nesse caso o triangulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a θ igual a x, consequente o cateto adjacente ao Ângulo valerá /4.
senθ=
O Ângulo θ pode der expresso como arcsen obtendo assim resposta final.
Bibiografia
http://p.t.wikipedia.org
http://www2.ufersa.edu.br
http://fatos matematicosblogs.com. br

Passo 2 (Equipe)
Considerem as seguintes igualdades:

I) ∫(3-t). (-6tdt=-(-6t+c/10
U=-6t
du/dy=2t-6
du=2t-6.dt
∫-2/-2(3-t). (-6t.dt → 1/-2∫-2(3-t).-6t.dt → -1/2∫-6-2t..dt
-1/2.du./5 → -1/2./5 → -/10 → -(-6t+c/10

II) /.dt=4,67
/t+.dt → . (t+4.dt
U=t V´=∫(t+4.dt
U´=1 V= (t+4/1/2-2
I=U.V-∫U´. V → I=2t-∫1.2.dt
I=2 t-2∫(t+4·. dt → I=2t-2∫.dt → I=2t-2/3/2 → I=2t-2.2/3 → I=2t-4/3 (limites 5, 0)
I=[2.5)-4/3] - [2.0-4/3]
Podemos afirmarque:
(a) (I) e (II) são verdadeiras.

Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(d) (I) e (II) são falsas
Passo 3 (Equipe)
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).
Resposta correta alternativa (a) numero 4. 

Passo 4 (Equipe)
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Relatório 2
1. 
I) ∫(3-t). (-6tdt=-(-6t+c/10
U=-6t
du/dy=2t-6
du=2t-6.dt
∫-2/-2(3-t). (-6t.dt → 1/-2∫-2(3-t).-6t.dt → -1/2∫-6-2t..dt
-1/2.du./5 → -1/2./5 → -/10 → -(-6t+c/10

II) /.dt=4,67
/t+.dt → . (t+4.dt
U=t V´=∫(t+4.dt
U´=1 V= (t+4/1/2-2
I=U.V-∫U´. V → I=2t-∫1.2.dt
I=2 t-2∫(t+4·. dt → I=2t-2∫.dt → I=2t-2/3/2 → I=2t-2.2/3 → I=2t-4/3(limites 5, 0)
I=[2.5)-4/3] - [2.0-4/3]

2. Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras.

ETAPA 3 
Aula-tema: Cálculo de Área.
Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área,
usando a teoria de integrais para tanto.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Equipe)
Façam as atividades apresentadas a seguir.
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.
2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
Área.
Historicamente foi a necessidade de calcular áreas de figuras planas com contornos curvos, que provocou o desenvolvimento da integral. Assim no cálculo,a integral de uma função foi criada originalmente,para determinar a áreas de curvas envolvendo as noções de integração desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.


Para calcular a área da regiãomarcada(S) utilizamos a integração função f na variável x, entre o intervalo a e b.
A=
A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e a base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde á área de cada retângulo. A soma das áreas, infinitesimais fornecera a área total da superfície sob a curva. 



Determinar a área de a região a seguir delimitada pela parábola definida pela expressão f(x) =-+4, no intervalo [0,2].





Determinado a área através da integração da função f(x) =-+4 para isso precisamos relembrar a seguinte técnica de integração.
∫·. dx→/n+1
+4. dx→ -/2+1 +4→/3 +4x
[-(/3 + 4≠2]-[-(/3 +4(-2) ]
[-8/3 +8]-[8/3-8]→[-8+24/3]-[8-24/3]→16/3-(-16/3) →16/3+16/3=32/3≅10,6
Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) =-+4, variando de -2 a 2.
Bibiografia:
http://www.kiron.unesc.net
http://www.brasilescola.com/matematica 

Passo 2 (Equipe)
Leiam o desafio abaixo:
Considerem as seguintes regiões (Figura 1) e (Figura 2). As áreas de e são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.


As áreas S1 e S2 são respectivamente 0,6931u.a. e 6,3863u.a.
(X1=0 Y1=0) (0; 0) (X2=1 Y2=1) (2; 1/2)
Y1=mx+b → m=ΔY/ΔX = Y2-Y1/X2-X1= 1-0/1-0 = 1
0=1. (0)+b → b=0
Y1=1. (x)+0 → Y=X
Y2=mx+b
m=ΔY/ΔX= (1/2-0=/2-0=1/2/2/1=1/2.1/2=1/4
Y2=1/4x+b
0=1/4. (0)+b
b=0Y=1/4x+0 → Y=1/4x
x-1/4x).dx 1/x-1/4x).dx
x-1/4x). dx →/2-1/4./2) →/2-/8) (limites 1,0)
/2-/8) – (/2 - /8) = 0,375
1/x – ¼ x).dx → lnx – 1/4./2).dx → lnx - /8) → ln x - /8 (limites 2,1)
(ln 2 - /8) – (ln 1 - /8) = 0,318
0,375+0,318 = 0,6931u.a
Y=4 (constante) /x.dx
.dx → → 4x (limites 1,0)
4.1 – 4.0 = 4
/x.dx → 4/x.dx → 4 lnx (limites 4,1)
4 ln4 – 4 ln1 = 5,545
4+5,545 = 9,545
9,545.4 = 38.18u.a
Podemos afirmar que:
(c) (S1) é verdadeira e (S2) é falsa


(a) (I) e (II) são verdadeiras
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(d) (I) e (II) são falsas
Passo 3 (Equipe)
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Resposta correta (c) número 8.

Passo 4 (Equipe)
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após aassociação feita no passo 3.
1.


As áreas S1 e S2 são respectivamente 0,6931u.a. e 6,3863u.a.
(X1=0 Y1=0) (0; 0) (X2=1 Y2=1) (2; 1/2)
Y1=mx+b → m=ΔY/ΔX = Y2-Y1/X2-X1= 1-0/1-0 = 1
0=1. (0)+b → b=0
Y1=1. (x)+0 → Y=X
Y2=mx+b
m=ΔY/ΔX= (1/2-0=/2-0=1/2/2/1=1/2.1/2=1/4
Y2=1/4x+b
0=1/4. (0)+b
b=0
Y=1/4x+0 → Y=1/4x
x-1/4x).dx 1/x-1/4x).dx
x-1/4x). dx →/2-1/4./2) →/2-/8) (limites 1,0)
/2-/8) – (/2 - /8) = 0,375
1/x – ¼ x).dx → lnx – 1/4./2).dx → lnx - /8) → ln x - /8 (limites 2,1)
(ln 2 - /8) – (ln 1 - /8) = 0,318
0,375+0,318 = 0,6931u.a
Y=4 (constante) /x.dx
.dx → → 4x (limites 1,0)
4.1 – 4.0 = 4
/x.dx → 4/x.dx → 4 lnx (limites 4,1)
4 ln4 – 4 ln1 = 5,545
4+5,545 = 9,545
9,545.4 = 38.18u.a

2. Podemos afirmar que:
(c) (S1) é verdadeira e (S2) é falsa

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