Integral Definida e Indefinida

ETAPA 1

Aula-Tema: Integral Definida e Indefinida

PASSO 1

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INTEGRAL INDEFINIDA

Conceito: Seja y=f( x ) uma função, e P( x ) tal que P'( x ) = f( x )uma derivada primitiva de f( x ).

Definimos a integral indefinida de y = f( x ) denotado por [pic 1]f( x ) dx, por [pic 2]f( x ) dx = P( x ) + c.

Vamos conhecer alguns conceitos associados a integral indefinida.

Primitiva

Conceito: Uma função P( x ) é chamada primitiva de uma função y = f ( x ) se P'( x ) = f( x ). Observe o seguinte problema:

1º exemplo:

Dada a função f( x ) = x2, encontre uma função P( x ) tal que P'( x ) = f( x ).

Resolução:

Para resolver este problema, devemos derivar a função f.

Assim, [pic 3]é uma função que satisfaz o problema, pois [pic 4]

[pic 5] também satisfaz, pois [pic 6]

Observe que outras funções, também, satisfazem o problema:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Em geral: 

[pic 10] em que c é uma constante, satisfaz o problema, pois [pic 11].

Resposta: [pic 12]são primitivas da função y = x2.

2º exemplo:

1. Se f( x ) = ex, então a integral indefinida de f( x ) é ( ex + c ), e indicamos por [pic 13]ex dx = ex + c.
2. Se f( x ) = x2, então a integral indefinida de f( x ) é [pic 14]e indicamos por [pic 15]

Propriedades da Integral Indefinida

As propriedades são ferramentas importantes no cálculo das integrais, pois simplificam nosso trabalho. Vamos conhecer duas dessas propriedades!

Integral da soma de funções [pic 16]( f( x ) + g( x ) ) dx = [pic 17]f( x ) dx + [pic 18]g( x ) dx``=>`` A integral de uma soma é a soma das integrais.

1º exemplo:

Se f( x ) = ex + x2, entao:

[pic 19]

[pic 20]observe que c1 + c2 é também uma constante, então fazemos c1 + c2 = c.

1. Integral do produto de uma constante por uma função [pic 21]c f( x ) dx = c [pic 22]f( x ) dx [pic 23]A integral indefinida do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral indefinida da função 

2º exemplo:

1. Se f( x ) = 2 ex, então: [pic 24]2 ex dx = 2 [pic 25]ex dx = 2 ( ex + c1 ) = 2 ex + 2 c1 = 2 ex + c
2. Se f( x ) = - 5 x2, então: [pic 26]

Integrais definidas

       Se você voltar novamente, verá que falei que existem dois tipos de integrais: as antiderivadas, que representam a operação oposta ao                                   processo de derivação e as integrais definidas, as quais serão explicadas neste post. Continue lendo.

Naquele post, eu disse que um dos grandes problemas dos matemáticos antigos era calcular a área de figuras com regiões curvas. O matemático e físico Arquimedes criou, então, o método da exaustão para calcular a área de um círculo. O método consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número de lados cada vez maior. A ideia, intuitivamente, é que se inscrevêssemos um polígono com infinitos lados teríamos o equivalente a área do círculo.

O mesmo princípio pode ser utilizado para calcular a área entre o gráfico de uma função em um intervalo [a,b] e o eixo das abscissas. Conforme você pode verificar pela excelente animação abaixo, para se ter uma ideia inicial da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos de larguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. A área da região será, pois, a soma da área de todos os retângulos construídos.

[pic 27]

Evidentemente, com um número pequeno de retângulos certamente haverá um erro na aproximação, pois alguns retângulos poderão ultrapassar os limites do gráfico da função ou deixar espaços em branco entre eles. Conforme você pode ver na animação, se preenchermos o espaço entre o eixo x e a curva com retângulos cada vez menores e em maior número, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, se preenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todos eles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas.

A Integral Definida é, pois, a soma das áreas desses infinitos retângulos entre o eixo x e a curva dada. Expressamos-na como [pic 28]onde f(xk*) corresponde à altura dos retângulos e o Δx à largura dos mesmos.

[pic 29]

Cabe notar que nem sempre é possível calcular a integral definida: ela não existirá nos lugares ou nas condições nas quais o limite de sua fórmula não existir. Além disso, é de extrema importância explicar que a área calculada leva em consideração o sinal, ou seja, quando a curva estiver totalmente acima do eixo x, a integral definida calculada será exatamente igual à área procurada, mas se a curva estiver abaixo do eixo x, a integral calculada será a área com o sinal negativo. Isso significa que se o gráfico de uma função tiver partes acima e partes abaixo do eixo x, as partes que estão abaixo do eixo x serão descontadas da operação final e o resultado não será exatamente a área procurada, conforme ilustra a figura ao lado.

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