Calculo Diferencia e Integral II

Disciplina de Cálculo II – Professor Anderson Kock

Integração

Unidade 01 – Introdução ao conceito de Integral

1. Antiderivação: a integral indefinida

Antiderivação: uma função F(x) é chamada de antiderivada de f(x) se F´(x) =f(x) para qualquer x do domínio de f(x). o processo para obter antiderivadas é chamado de antiderivação ou integração indefinida.

As vezes a equação F´(x) = f(x) é escrita na forma [pic 1]

Uma função tem mais de uma antiderivada. Por exemplo: uma das antiderivadas de f(x) = 3x² é F(x) = x³, já que F´(x) = 3x² = f(x), mas ao mesmo tempo se pode dizer de(x³ + 6; x³ - 7; x³ + 20), pois todas elas possuem derivada igual a 3x².

1.1 Propriedade fundamental das antiderivadas 

Se f(x) é uma antiderivada de uma função continua f(x), qualquer antiderivada de f(x) tem a forma de G(x) = F(x) + c, onde c é uma constante.

Como vimos, se F(x) é uma antiderivada da função continua f(x), todas as antiderivadas de f(x) têm a forma F(x) + c, onde c é uma constante. Vamos representar a família da antiderivadas de f(x) usando o símbolo.

, que é chamada de integral indefinida de f(x).[pic 2]

Na integral indefinida , o símbolo ∫ é chamado de sinal de integração, a função f(x) é chamado de integrando e dx é uma diferencial usada para indicar que x é a variável de integração. Vejamos um exemplo:[pic 3]

[pic 4]

1.2 Algumas regras para integrar funções comuns

1. [pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

4. [pic 8]

5.[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

8. [pic 12]

[pic 13]

Atividade 01. Desenvolva as seguintes integrais indefinidas abaixo.

1. [pic 14]

Atividade 02. Determine a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação 3x²+1 para qualquer valor de x e cuja curva passa pelo ponto (2, 6).

Atividade 03. Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q² - 60q + 400 reais por unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades?

Atividade 04. A população P(t) e uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a uma taxa dada por

[pic 15]

Se a população era de 200.000 bactérias quando a observação começou, qual será a população 12 horas mais tarde?

Exercícios do Livro.

1. Técnicas de integração

1. Integração por Substituição

A maioria das funções que aparecem em aplicações práticas pode ser derivada usando regras e fórmulas como as que foram discutidas no cálculo 1. A integração, por outro lado, é mais uma arte que uma ciência e muitas integrais aparentemente simples podem exigir o uso de métodos especiais e artifícios apropriados. Vejamos agora um método de resolução de integrais que se baseia na substituição, fazendo mudança de variável.

Vejamos alguns exemplos:

(Questão 01) Usando a técnica de integração por substituição, determine as seguintes integrais.

a)[pic 16]

f) h)i) [pic 17][pic 18][pic 19]

Questão 02) A taxa de variação do preço unitário p (em reais) de um certo produto é dada por

[pic 20]

Onde x é a demanda do produto (numero de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x = 4) para um preço unitário de R$ 30,00.

1. Determine a função demanda p(x);
2. Para que preço a demanda é de 300 um unidades? Para que preço a demanda é zero?
3. Qual é a demanda para um preço unitário de R$ 20,00?

Exercícios

Questão (01) – Fazer os exercícios 1 e 2 página 306 do livro (Laurence D. Hoffmann)