Calculo II

Taxa media de variação

Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.

De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.

Se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Dx - ou seja, x varia de x0 até x0+Dx - podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Dy.

O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Dx considerada.

Observação:

Ao considerar o acréscimo Dx, podemos tomar Dx>0, obtendo [x0, x0+Dx] como sendo o intervalo no qual x varia; ou tomando Dx<0, obtemos o intervalo de variação [x0+Dx, x0]. Em ambos os casos, é possível calcular .

O conhecimento da taxa média de variação não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se comporta em relação à variável independente em um ponto específico. Para tanto, o conhecimento da taxa de variação em cada ponto do domínio será muito mais eficaz.

Exemplo 1

No caso de f(x)=x, o que acontece com a taxa de variação média para diferentes valores da variável independente x?

Para responder a essa questão, escolha alguns valores iniciais para a variável x e as respectivas variações x, tanto positivas como negativas. Em cada caso, calcule y e examine o quociente .

A que conclusão você chegou? É possível estabelecer um argumento geométrico que comprove a veracidade de sua conclusão?

Resposta:

Sendo y=f(x)=x, escolhemos alguns valores de x, por exemplo, x=0, x=2, x=5 e x=10. Também escolhemos, para cada um, um valor para Dx, por exemplo, Dx=0,1 , Dx=-0,01, Dx=0,5, Dx=-1,2. Podemos então considerar a seguinte tabela:

Valor inicial de x Valor escolhido para Dx Valor encontrado para Dy

0 0,1 0,1 1

2 -0,01 -0,01 1

5 0,5 0,5 1

10 -1,2 -1,2 1

Através dos casos escolhidos podemos estabelecer a seguinte conjectura: no caso de y=f(x)=x, o quociente é sempre igual a 1.

De fato, podemos mostrar que, para f(x)=x, de modo geral,

ou seja, a taxa de variação média de y com relação a x é sempre 1, independentemente do ponto inicial x e do acréscimo Dx.

Geometricamente, confirmamos nossa hipótese, pois o gráfico de

f(x)=x é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes e o valor do coeficiente angular dessa reta é 1.

Exemplo 2

Examine o caso da função polinomial de primeiro grau mais geral y=f(x)=ax+b.

Encontre a taxa de variação média a partir de um ponto x0 qualquer. Dê uma interpretação para o resultado a que você chegou.

Resposta:

No cálculo algébrico fica ssim, sendo y=f(x)=ax+b, temos, para todo x0 e qualquer Dx,

Consequentemente, podemos afirmar que, para uma função polinomial de primeiro grau geral, o valor do quociente é sempre o valor do coeficiente angular da reta que é o seu gráfico. Em outras palavras, a taxa de variação média, em qualquer intervalo, é constante e igual a a.

Taxa da variação Instantânea

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.

A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.

Observações:

i) a taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.

Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.

ii) dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo Dx>0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Se consideramos Dx<0, fazemos se aproximar de 0 por valores negativos e escrevemos Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente , estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos.

A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica importante que será útil em nosso estudo das funções.

Exemplo 1

Um projétil é lançado verticalmente para cima, sob ação exclusiva da gravidade, sendo que sua altura, em metros, é uma função do tempo, medido em segundos, e é dada por h(t)=-5t²+225t. Qual sua velocidade num instante genérico t?

Resposta:

A velocidade no instante genérico t é a taxa de variação instantânea no instante t e é dada por , sendo . Assim, no intervalo [t, t+Dt], temos:

ou seja,

Dh=-10t. Dt - 5Dt2+225Dt

e, portanto,

ou seja,

que é a velocidade no