Distribuição bernoulli

Introdução

• A distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é um modelo matemático que relaciona uma variável em estudo com a probabilidade de sua ocorrência. • Tipos de distribuição de probabilidade: - Discreta: Encontra-se em um conjunto finito

- Contínua: Não há valor específico, um intervalo

Definição

• É uma distribuição discreta relativa a uma variável aleatória, que assume somente dois valores 0 e 1. Nesse caso, a variável vale (1) se o evento ocorre e vale (0) se não ocorre.

• Exemplos:

1. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa

2. No lançamento de um dado ocorre ou não ocorre a face 6

3. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa

Definição

• Os resultados são anotados por 0 (fracasso) e 1 (sucesso). A probabilidade de ocorrência de “sucesso é representada por “p” e a de insucesso por “q = 1 – p”.

- O conjunto de valores X(S) = {0, 1} e a função de probabilidade é dada por:

P( X = x ) = ????×??1??? f(x) = P(X = x)=

Esperança (média), Variância e Desvio Padrão

• Esperança:

E(x) = ??

• Variância:

Var(x) = ?? - ??2 = ?? x (1 – ??) = ?? x ??

• Desvio Padrão:

?? = ??????(??) = ??????

Limitações de Aplicação

- Mais de dois possíveis resultados

- A probabilidade não ser a mesma nas tentativas

- As tentativas não serem independentes (A probabilidade de sucesso é afetada pelo conhecimento do resultado obtido em tentativas anteriores)

Aplicações

• Estudo Epidemiológico em Minas Gerais (2000)

A variável resposta utilizada foi a proporção do nível de colesterol total considerado como risco grave para o desenvolvimento de doenças cardiovasculares na idade adulta. Os pontos de corte, para esse risco, são os valores acima do percentil 90 fornecidos pelo Lipid Research Clinics – Prevalence Study (LRC) para a população norte americana.

Aplicações

• Foram analisados as variáveis de estudo das dislipidemia, dentre o universo de 100 pessoas sorteadas aleatoriamente:

- 47 eram do sexo feminino e 53 eram do sexo masculino

- 9 pessoas apresentaram colesterol na classe de risco grave

- 23 pessoas apresentaram classe econômica A1 a B2 e 77 pertenciam a classe C a E

Aplicações

- 47 eram do sexo feminino e 53