Estabilidade de Sistema Lineares

1. INTRODUÇÃO

Esta aula tem por objetivo introduzir os conceitos acerca da estabilidade de um sistema de controle em malha fechada, uma vez que assegurar a estabilidade desse é uma questão central no projeto de sistema de controle. Para isso, na Seção 2, serão introduzidos conceitos acerca de estabilidade e do critério geral da estabilidade e na Seção 3 é apresentado o método critérios Routh-Hurwitz, ferramenta útil para determinar a estabilidade no sistema.

1. CONCEITO DE ESTABILIDADE

Ao considerar o projeto de análise de sistemas de controles com realimentação, a estabilidade é de maior importância. Pode-se dizer que em um sistema de controle com realimentação é estável ou não, esse tipo de caracterização estável/não-estável está referida como estabilidade absoluta. Um sistema que possua estabilidade absoluta é dito sistema estável – abandonando-se o rótulo absoluto. Dado um sistema com malha fechada seja estável, é possível caracterizar adicionalmente o grau de estabilidade, referindo-se à estabilidade relativa.

Uma maneira de se estabelecer se a estabilidade de um sistema (no sentido absoluto) é determinar se todos os pólos da função de transferência estejam no semiplano s da esquerda. Sabendo-se que todos os pólos estejam à esquerda semiplano s, investiga-se a estabilidade relativa examinando-se as localizações relativas dos polos. Se qualquer um destes pólos estiver no semi-plano direito do plano s, então, com o decorrer do tempo, eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitória aumentará monotonamente ou oscilará com amplitude crescente, como pode ser observado na Figura 1.

[pic 2]

Figura 1 – Sistema instável

Existem alguns métodos que avaliam a estabilidade do sistema:

1. Método critérios Routh-Hurwitz;
2. Método de Substituição Direta;
3. Método do lugar geométrico das raízes (Root Locus).

Na estabilidade BIBO (Bounded Input-Bounded Output) um sistema linear (sem restrições) é dito ser estável se, para todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua entrada, o sinal de saída é também limitado. Isto é, se o sistema for submetido a uma excitação limitada ou a uma perturbação e a resposta é limitada em magnitude, o sistema é estável. Caso contrário, é instável, ou seja, a amplitude do sinal de saída tenderá a crescer indefinidamente com o passar do tempo.

As funções de malha fechada de transferência são funções racionais (divisão de polinômios em s), considere a seguinte:

𝑌(𝑠)

---

𝑎0 + 𝑎1𝑠 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑠𝑚

𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠) =[pic 3][pic 4]

---

𝑏 + 𝑏 𝑠 + ⋯ + 𝑏

---

𝑠𝑛

0        1        𝑚

Essa função pode ser escrita em sua forma fatorada como:

: 𝐾′. (𝑠−𝑧1)(𝑠−𝑧2)…(𝑠−𝑧𝑚) (𝑠−𝑝1)(𝑠−𝑝2)…(𝑠−𝑝𝑛)[pic 5]

Onde, m ≤ n: condição para realizabilidade física.

𝑝𝑛: Polos das raízes da equação característica

Considerando uma entrada degrau e aplicando a transformada inversa:

𝐶(𝑠) = 𝐴0 +        𝐴1[pic 6][pic 7]

---

𝐴2

+[pic 8]

---

𝐴𝑛

+ ⋯ +[pic 9]

Cuja solução é:

---

𝑠        𝑠 − 𝑝1

---

𝑠 − 𝑝2

---

𝑠 − 𝑝𝑛

𝑐(𝑡) = 𝐴0 + 𝐴1 exp(𝑝1𝑡) + 𝐴2 exp(𝑝2𝑡) + ⋯ + 𝐴𝑛exp (𝑝𝑛𝑡)

Com isso conclui-se que:

• Se os pólos desse sistema são números reais negativos, então o sistema é estável;
• Se pk é ak+ jbk, uma parte real positiva e com a parte imaginário faz com que a resposta seja oscilatória, então o sistema é instável sob determinadas condições de entrada.

2.1        CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE

Uma condição necessária e suficiente para um sistema com realimentação ser estável é que todos os polos da função de transferência do sistema tenham parte real negativa, na Figura 2 pode-se observar onde estão as regiões de estabilidade.

[pic 10]

Figura 2- Regiões de estabilidade no plano complexo da equação característica.

Um sistema é estável se todos os pólos da função de transferência estiverem no semiplano s da esquerda, como pode ser visto na Figura 3. Se a equação característica possuir raízes simples sobre o eixo imaginário com todas as outras raízes no semiplano s da esquerda, a saída em regime permanente terá oscilações mantidas para uma entrada limitada, a menos que a entrada seja um senóide cuja frequência é igual à magnitude das raízes no eixo imaginário, tal sistema é dito marginalmente estável. Um sistema será chamado de instável se nem todas as raízes estiverem no semiplano s da esquerda. Para um sistema instável, a equação característica possui pelo menos uma raiz no semiplano s da direita ou raízes repetidas; neste caso a saída se tornará ilimitada para qualquer tipo de entrada.