Exercicio Modelagem

Considere o problema da transferência de oxigênio da cavidade interior do pulmão, atravessando o tecido pulmonar para a parede dos vasos sanguíneos no lado oposto. Pode-se admitir que o processo de inalação seja capaz de manter uma concentração molar constante  de oxigênio na superfície interna do pulmão (x=0) e que a assimilação do oxigênio pela rede sanguínea é capaz de manter uma concentração molar  na superfície externa do pulmão (X=L) também constante. Sabendo que há um consumo constante de oxigênio no tecido pulmonar devido aos processos metabólicos e que esse consumo ocorre de acordo com uma reação de ordem zero de velocidade k0, obtenha as expressões que apresentam a variação de concentração e o fluxo de assimilação de oxigênio pelo sangue no interior do pulmão.[pic 1][pic 2]

[pic 3]

Hipóteses:

1. Regime Estacionário;
2. Difusão unidirecional;
3. Dimensões infinitesimais (na direção x);
4. Reação de ordem 0 (a velocidade da reação é constante e não depende da concentração).

Fluxo de Difusão: (Lei de Fick)

[pic 4]

Onde:         DAB = Difusividade de A em B (m2/s) e  = gradiente de concentração (mol/m3.s)[pic 5]

Balanço de Massa:

[pic 6]

[pic 7]

                Onde h = altura, w = largura e dx = comprimento.[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

• Com a lei de Fick:

[pic 12]

[pic 13]

• Realizando as integrações para eliminar a derivada de segunda ordem:

[pic 14]

Condições de contorno:

Para x=0, [pic 15]

[pic 16]

Para x=L, [pic 17]

[pic 18]

• Substituindo as constantes de integração:

Resposta do item a:

[pic 19]

• Rearranjando:

[pic 20]

Resposta do item b:

[pic 21]

• Integrando:

[pic 22]

• Substituindo C1 já encontrado anteriormente com as condições de contorno:

[pic 23]

• Para x = L:

[pic 24]

...