Exercícios Resolvidos de Cálculo 2

Cálculo III

Questões resolvidas 01 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES 

1. Na figura abaixo está o gráfico da função [pic 1]. Marque, nesse mesmo gráfico, a região [pic 2].

[pic 3]

Solução

A região [pic 4]corresponde à parte assinalada no gráfico.

A medida da área dessa região é o valor da integral imprópria:

[pic 5]

1. Sabendo que [pic 6], escreva os três primeiros termos da série de Taylor para a função [pic 7]. A seguir, use esse resultado para calcular o valor aproximado da integral [pic 8].

Solução

A série de potências da função cosseno, [pic 9], nos permite escrever [pic 10].

Assim, podemos calcular o valor aproximado da integral em questão:

[pic 11]

1. Encontre uma série de potências para representar a função [pic 12], sabendo que [pic 13]. Use a série obtida para mostra que [pic 14].

Solução

A função [pic 15] é igual à soma de sua série de Maclaurin, isto é,

[pic 16].

Dividindo os termos dessa equação por x, obtemos:

[pic 17]

Com isso, podemos escrever:

[pic 18].

1. Considere a função [pic 19], cuja lei de definição é uma série de potências.

1. Determine o intervalo de convergência dessa série.
2. Determine o valor dessa função para [pic 20].

Solução

1. Para encontrar o intervalo de convergência desta série, fazemos:

[pic 21].

A série é convergente para [pic 22].

Para [pic 23], temos a série [pic 24] que é divergente.

Para [pic 25], temos a série [pic 26] que é divergente.

Assim, a série [pic 27] é convergente para [pic 28].

1. Para [pic 29], temos a série [pic 30] por ser uma série geométrica de razão [pic 31] e primeiro termo [pic 32].

1. Considere a integral [pic 33] e o gráfico da função  [pic 34], que está abaixo.

[pic 35]

A respeito dessa integral e desse gráfico, foram feitas três afirmativas:

1. A integral é imprópria porque a função integranda não existe em um dos extremos do intervalo de integração.
2. A integral é convergente e vale [pic 36].
3. O valor da integral, [pic 37], é a medida da área da região do plano definida por [pic 38].

Analise cada uma dessas afirmativas e decida se é verdadeira ou falsa.

Solução

1. A integral [pic 39]é imprópria porque a função integranda [pic 40]não existe em [pic 41], um dos extremos do intervalo de integração.

A afirmativa I é verdadeira.

1. Calculando a integral, temos:

[pic 42]

A afirmativa II é verdadeira.

1. O valor dessa integral, [pic 43], é a medida da área da região do plano que estão à direita do eixo y, acima do eixo t, à esquerda da reta [pic 44] e abaixo do gráfico de [pic 45]. Essa região é definida por [pic 46].

A afirmativa III é verdadeira.

1. Estabeleça uma série de Taylor para [pic 47], em torno de [pic 48]; determine o intervalo de convergência dessa série.

Solução

Usando a série de Taylor para [pic 49]em torno de [pic 50], temos:

[pic 51]

Para obter esse resultado, poderíamos usar a série de Taylor para [pic 52]que está na Tabela 18 -01.

[pic 53]

       Bastaria trocar [pic 54]por [pic 55]nesta série:

[pic 56].

Para determinar o intervalo de convergência, fazemos:

[pic 57]

A série é convergente para [pic 58].

Assim, a série de Taylor para [pic 59]é convergente para [pic 60].

Podemos observar, no gráfico abaixo, que os polinômios de Taylor [pic 61], [pic 62], [pic 63], [pic 64]convergem para [pic 65]quando [pic 66] e divergem fora desse intervalo.

[pic 67]

1. Use a série binomial com [pic 68] para expandir [pic 69].

Solução

Substituindo [pic 70] por [pic 71]na série [pic 72]da Tabela 18.01 e fazendo [pic 73], temos:

[pic 74]

O termo em [pic 75]e todos os termos seguintes reduzem-se a [pic 76], porque cada coeficiente contém um fator nulo.

Simplificando, obtemos: [pic 77].

1. Determine o polinômio de Taylor, em torno de [pic 78], da função [pic 79]que satisfaz o problema de valor inicial [pic 80].

Solução

A série de Taylor para [pic 81] em torno de [pic 82] tem a forma

[pic 83]

A condição inicial [pic 84] nos permite escrever que [pic 85]. Com isso, temos:

[pic 86]

Derivando a série para [pic 87]termo a termo, obtemos:

[pic 88]

Como [pic 89], devemos ter:

...