Exercicio Resolvido Algebra Linear

´ Algebra Linear—Exerc´ıcios Resolvidos

Agosto de 2001

2

Sum´ario

1 Exerc´ıcios Resolvidos — Uma Revis˜ao 5

2 Mais Exerc´ıcios Resolvidos Sobre Transforma¸c˜oes Lineares 13

3

4 SUM´ ARIO

Cap´ıtulo 1

Exerc´ıcios Resolvidos — Uma Revis˜ao

Ex. Resolvido 1 Verifique se V = f(x; y; z;w) 2 R4; y = x; z = w2g com as opera¸c˜oes usuais de R4 ´e um

espa¸co vetorial.

Resolu¸c˜ao: Note que (0; 0; 1; 1) 2 V mas ¡1(0; 0; 1; 1) = (0; 0;¡1;¡1) 62 V: Assim, V n˜ao ´e um espa¸co

vetorial.

¤

Ex. Resolvido 2 Seja A 2 Mn(R) uma matriz quadrada de ordem n: Verifique se W = fX 2 Mn£1(R);AX =

0g ´e um subespa¸co vetorial de Mn£1(R); com as opera¸c˜oes usuais.

Resolu¸c˜ao:

1. Seja O = (0) a matriz n £ 1 nula. Como AO = O; temos que O 2 W:

2. Se X; Y 2 W e ¸ 2 R; ent˜ao, pelas propriedades da soma e da multiplica¸c˜ao por escalar usuais entre

as matrizes e, tamb´em, pelas propriedades do produto entre matrizes, temos

A(X + ¸Y ) = AX + A(¸Y ) = AX + ¸AY = O + ¸O = O:

Portanto X + ¸Y 2 W:

Conclu´ımos que W ´e um subespa¸co vetorial de Mn£1(R):

¤

Ex. Resolvido 3 Encontre o subespa¸co vetorial de P3(R) gerado por S = f1; t; t2; 1 + t3g:

Resolu¸c˜ao: Note que t3 = (t3 +1)¡1: Assim, dado p(t) = a0 +a1t+a2t2 +a3t3 2 P3(R) podemos escrever

p(t) = (a0 ¡ a3) + a1t + a2t2 + a3(t3 + 1) 2 [S]: Logo, P3(R) = [S]:

¤

Ex. Resolvido 4 Encontre o subespa¸co vetorial de M2(R) gerado por

S =

½µ

0 1

0 0

¶

;

µ

0 0

¡1 0

¶¾

Resolu¸c˜ao: Temos que A 2 [S] se e somente se existem ®; ¯ 2 R tais que

A = ®

µ

0 1

0 0

¶

+ ¯

µ

0 0

¡1 0

¶

=

µ

0 ®

¡¯ 0

¶

;

ou seja, A 2 [S] se e somente se os elementos da diagonal principal de A s˜ao nulos.

¤

5

6 CAP´ITULO 1. EXERC´ICIOS RESOLVIDOS — UMA REVIS ˜AO

Ex. Resolvido 5 Encontre um conjunto finito de geradores para

W = fX 2 M3£1(R) : AX = 0g;

onde

A =

0

@

0 1 0

2 1 0

1 1 4

1

A:

Resolu¸c˜ao:

X =

0

@

®

¯

°

1

A 2 W ()

0

@

0 1 0

2 1 0

1 1 4

1

A

0

@

®

¯

°

1

A =

0

@

00

0

1

A

()

0

@

1 1 4

2 1 0

0 1 0

1

A

0

@

®

¯

°

1

A =

0

@

000

1

A ()

0

@

1 1 4

0 ¡1 ¡4

0 1 0

1

A

0

@

®

¯

°