FUNÇÕES NAS QUAIS APLICAREMOS A REGRA DA CADEIA  MODELO DE FUNÇÕES

2 Maneiras de resolver derivadas usando a regra da cadeia

[pic 1]Neste tópico daremos noções acerca de uma das regras de diferenciação mais importantes do cálculo diferencial, desenvolvida por Leibnitz, a chamada regra da cadeia. A metodologia para obtê-la consistirá, inicialmente, apenas em derivar uma dada função com expoente positivo e, a seguir, aplicar sua fórmula nas situações propostas.

 O QUE NOS DIZ A REGRA DA CADEIA

 “A regra da cadeia estabelece que se v é uma função de u, (v(u)), e u é uma função de x, (u(x)), então existe a derivada da função de v em relação a x, (v(x)), que equivale ao produto da derivada da função v em relação a u, (v(u)), pela derivada da função ( u(x) ).”

 NOTAÇÃO FUNCIONAL PARA A REGRA DA CADEIA

 Na notação funcional podemos escrever a regra da cadeia da seguinte maneira:

 [pic 2]

 NOTAÇÃO DE LEIBNITZ PARA A REGRA DA CADEIA

 Na notação de Leibnitz a regra da cadeia pode ser escrita como

[pic 3]

 FUNÇÕES NAS QUAIS APLICAREMOS A REGRA DA CADEIA

 MODELO DE FUNÇÕES

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 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE A REGRA DA CADEIA

 1º) Derive a seguinte função: [pic 8]

 Vamos escrever a função acima da seguinte forma:

 [pic 9]

 ou melhor,

 [pic 10]

 Inicialmente, expandiremos o termo

 [pic 11]

 veja como:

 [pic 12]

 Em seguida, multiplicaremos o resultado acima por

 [pic 13]

Assim:

[pic 14]

 [pic 15][pic 16]

Portanto,

 [pic 17]

Então

 [pic 18] [pic 19]

 Existe uma maneira menos trabalhosa para obter esse resultado? Sim. Veja como:

 Dada a função

 [pic 20]

 Queremos achar:

 [pic 21]

 Para que isso aconteça, chamaremos a parte que está dentro do parêntesis pela variável u, ficando na forma:

 [pic 22]

 que, quando for substituída na função, a mesma torna-se da forma

 [pic 23]

 Agora é só derivar as duas formas acima: derivando a expressão acima em relação a [pic 24], temos

 [pic 25]

 derivando a primeira forma em relação a [pic 26], temos

 [pic 27]        [pic 28]

 Portanto, para obtermos a derivada da função dada, ou seja, de

 [pic 29]   multiplica-se  [pic 30]   Por [pic 31]

veja como:

 [pic 32]

 Substituindo o valor de [pic 33] na expressão acima, resulta que

 [pic 34]

 Pronto, eis a derivada da função. Com esse exemplo, chegamos a uma das mais importantes regras de diferenciação do Cálculo, a chamada regra da cadeia:

 [pic 35]

 Agora, precisamos provar se o resultado encontrado é mesmo que obtivemos pelo primeiro método, onde usamos a expansão e multiplicação dos termos da função dada. Veja abaixo:

 Já obtemos, no início da aula, que

 [pic 36]

 Portanto, multiplicando esse resultado por

 [pic 37]

 resulta em

 [pic 38]

 [pic 39]

 Multiplicando o resultado acima por 3, chegamos a:

 [pic 40]

Portanto,

 [pic 41]

 Está provado que o resultado é o mesmo obtido na primeira tentativa de derivarmos a função dada.

 2º) Derive a seguinte função: [pic 42]

 Vamos escrever a função acima da seguinte forma:

 [pic 43]

 Queremos encontrar

[pic 44]  Chamaremos a parte que está dentro do parêntesis de  [pic 45]

 Substituindo o valor de: [pic 46] por [pic 47] na função dada, teremos [pic 48]

 Derivando a expressão acima em relação a [pic 49], temos

[pic 50]

 A seguir, vamos derivar a expressão

 [pic 51] em relação a [pic 52]. Veja como:

 [pic 53]

 [pic 54]

 Portanto,

 [pic 55]

 Substituindo o valor de [pic 56] na expressão acima, resulta que

 [pic 57]

 ou

 [pic 58]

 ou

 [pic 59]

 Observação importante: baseado nos exemplos expostos, podemos observar que, se a função é da forma

 [pic 60]

 sua derivada pode ser calculada usando a regra da cadeia de outra maneira, ou seja, com a seguinte regra equivalente: