INTEGRAL DEFINIDA E INTEGRAL INDEFINIDA

INTRODUÇÃO

Essa ATPS ( Atividade Prática Supervisionada ) cria um desafio para a equipe com o uso do Cálculo da Integral. No desafio temos a empresa de nome Petrofuels que tem como principal atividade a extração do petróleo no Brasil. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu reservas na bacia de Santos. O desafio geral propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço. Com a realização dos desafios propostos seus respectivos resultados deverão ser associados a um número ( 0 a 9 ). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem da realização das etapas fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

ETAPA 1 - INTEGRAL DEFINIDA E INTEGRAL INDEFINIDA

PASSO 1

1.1- Desde o início das civilizações, a matemática vem evoluindo com a humanidade. Esta evolução deixou para trás uma sociedade de subsistência e deu origem a uma era capitalista. A matemática que até então era usada para resolver situações reais específicas do homem passou a ser uma ferramenta capaz de contribuir para a resolução de problemas em diferentes áreas do conhecimento. Foi então que surgiu a necessidade de sistematizar, organizar e resolver tais problemas, os quais possibilitaram o surgimento e o desenvolvimento de ramos importantes da matemática como o Cálculo Integral.

O Cálculo Integral, através de seus conceitos e resultados, consegue resolver diversas situações-problemas do dia-a-dia, e em diferentes áreas como na matemática, na ecologia, na cibernética, na administração, na economia, na física e na medicina.

No estudo do Cálculo podemos dar destaque a alguns autores. Dentre eles está Boyer (1974), o qual aponta que calcular, no passado, significava fazer contas por meio de seixos. Segundo ele a palavra calcular tem sua origem do latim, do diminutivo de calx, que significa pedra. Já na Idade Média , no século XVII, surgem os conceitos mais formais para o cálculo, os quais definem conceitos que surgiram a mais de dezessete anos antes da nossa era.

O século XVII foi extremamente produtivo para o cálculo, comenta Eves (2004), pois foi um período onde se fizeram grandes e vastas pesquisas em diversas áreas. O autor afirma ainda que para se falar da história do cálculo, precisamos voltar até o século V a.C., na Grécia Antiga, mesmo que a maior parte da história se situe no século XVI.

Os primeiros problemas que apareceramna história do cálculo se referiam a problemas de quadratura, com os processos de medição de terras e áreas. Uma das contribuições mais antigas, segundo Eves (2004) se refere ao problema da quadratura do círculo que foi dada por Antífon, que era contemporâneo de Sócrates. Antífon acreditava que por sucessivas duplicações do número de lados de um polígono regular inscrito num círculo, a diferença entre o círculo e o polígono por fim exaurir-se-ia. Antífon, continha aqui o método da exaustão grega. O método da exaustão é creditado a Eudoxo (c.370 a.C.), ainda:

“ O método admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e sua base é a proposição : se uma grandeza qualquer subtraí-se uma parte não menor que a sua metade, do restante subtraí-se uma parte não menor que a sua metade, do restante subtraí-se uma parte não menor que a sua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie. (Eves 2004, p.419).”

Boyer (1974) nos coloca que o método da exaustãoé creditado a Eudoxo, mas também é conhecido como método de Arquimedes:

“[...]Arquimedes atribuiu a Eudoxo a primeira prova satisfatória de que o volume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura, o que parece indicar que o método da exaustão vem de Eudoxo.( Boyer, 1974, p.67 ).”

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Ele utilizou o problema da exaustão para determinar a área do círculo e descobriu o número π.

Rocha (1986), aponta que foi com a busca de processos exatos ou mesmo aproximado de calcular a área em uma região S limitada por uma curva fechada que deu a Arquimedes a glória de ser considerado um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos. Segundo ele foi pelo método da exaustão que Arquimedes conseguiu calcular a área de vários tipos de curvas.

Nos seus trabalhos sobre áreas e volumes, Arquimedes utilizou o método da exaustão, pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais de uma série ou pelos termos de uma sequência, conforme Boyer (1974).

Por volta do ano de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram à Europa Ocidental através de uma tradução que foi achada em Constantinopla, de uma cópia feita no século IX, de acordo com Eves (2004).

Estas descorbertas deram origem ao cálculo. No entanto, o seu desenvolvimento prosseguiu graças as contribuições iniciais de personagens como Bonavetura Cavalieri - responsável pela introdução dos logaritmos na Europa e seus princípios representaram para a época e continuam até hoje, poderosas ferramentas para o cálculo de volumes e áreas; Johann Kepler - recorreu à integração para calcular áreas envolvidas com a segunda lei do movimento planetário e também conseguiu calcular o volume de diversos sólidos; Isaac Baron - foi o primeiro a perceber que a integração e a diferenciação são operações inversas. Estudou muito sobre a geometria analítica e contribuiu para a determinação de pontos de máximos e mínimos de funções; John Wallis - foi um dos primeiros a discutir as cônicas como sendo curvas do segundo grau. O símbolo ∞ ( infinito), surgiu após os seus estudos. Ele obteve resultados para o cálculo e seus métodos eram mais aritméticos do que geométricos.

“Wallis empenhou-se em determinar π buscando uma expressão para a área, π/4, de um quadrante do círculo x²+y²=1. Isso equivale a calcular o limite

(1-x²)dx o que ele não tinha condições de fazer diretamente, uma vez que desconhecia o teorema geral do binômio. [...] o que ele procurava era o valor interpolado dessa lei para n=. (Eves, 2004, p.432 ).”

As principais contribuições de Wallis para o cálculo estão relacionadas à teoria da integração. Foi Wallis quem explicou de maneira satisfatória o significado dos expoentes zero, negativos e fracionários; e os mais ilustres Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibiniz que fizeram o processo definitivo, com a invenção do Cálculo Integral, por Newton, na Inglaterra, e por Leibiniz, na Alemanha. (Rocha, 1986, p.145).