Lista de calculo 4

Nos exercícios 1 􀀀 7, vamos considerar o retângulo em C de vértices A = 0, B = 1, C = 1 + 2i,

e D = 2i.

Para os exercícios 1 􀀀 4, esboce o retângulo ABCD após a aplicação f(z) = z:

1:  = 􀀀i 2:  = 1 + i 3:  =

p

3 􀀀 i 4:  = 􀀀2 􀀀 2

p

3i.

Para os exercícios 5 e 6:

(a) Determine as imagens dos vértices A;B;C;D por f(z).

(b) Esboce o retângulo ABCD após a aplicação f(z).

(c) Determine as imagens dos vértices A;B;C;D por g(z).

(d) Esboce o retângulo ABCD após a aplicação g(z).

(e) A aplicação f(z) é conforme em todos os pontos do retângulo ABCD? E a aplicação g(z)?

Use estas respostas para explicar a diferença nos resultados obtidos.

5: f(z) = z2 􀀀 4z + 4, g(z) = z2.

6: f(z) =

1

z + 1

, g(z) =

1

z

.

Para os exercícios 7 􀀀 10:

(a) Determine ad 􀀀 bc.

(b) Encontre T(0); T(1); T(i) e T(1).

(c) Encontre a transformação inversa T􀀀1(z).

(d) Encontre T􀀀1(0); T􀀀1(1); T􀀀1(i) e T􀀀1(1).

7: T(z) =

iz 􀀀 2

z + i

8: T(z) =

(3 + i)z 􀀀 4

2z + 7i

9: T(z) =

z + 3i

􀀀iz

10: T(z) =

z + i

z 􀀀 i

1

2

Para os exercícios 11 􀀀 14, encontre a transformação T(z) que leva o conjunto A no conjunto B e

que leva a tripla Tz = (z1; z2; z3) na tripla Tw = (w1;w2;w3):

11: A é o semiplano fz = x + iy 2 C; y 􀀀 x > 􀀀1g, B é o interior do disco D(2i; 1),

Tz = (1; 1;􀀀i), Tw = (3i; 1 + 2i; i).

12: A é o interior do disco D(􀀀1; 1) (centro 􀀀1, raio 1), B é o semiplano fz 2 C; Im(z) < 1g,

Tz = (􀀀2; i 􀀀 1; 0), Tw = (i 􀀀 1; i; i + 1).

13: A é o exterior do disco D(0; 1) (centro 0, raio 1), B é o semiplano fz = x + iy 2 C; x + y > 0g,

Tz = (1; i;􀀀1), Tw = (0; i 􀀀 1;1).

14: A é o semiplano fz 2 C; Re(z) < 􀀀1g, B é o interior do disco D(1 􀀀 i; 1) (centro 1 􀀀 i, raio 1),

Tz = (i 􀀀 1;􀀀1;1), Tw = (􀀀i; 1; 2 􀀀 i).

3

Respostas

1: Retângulo de vértices A = 0, B = 􀀀i, C = 2 􀀀 i e D = 2 (rotação de 􀀀=2).

2: Retângulo de vértices A = 0, B = 1 + i, C = 3i 􀀀 1 e D = 2i 􀀀 2 (dilatamos ABCD

por um fator de

p

2 e giramos =4).

3: Retângulo de vértices A = 0, B =

p

3􀀀i, C = (2+

p

3)+(2

p

3􀀀1)i e D = 2+2

p

3i

(dilatamos ABCD por um fator de 2 e giramos 􀀀=6).

4: Retângulo de vértices A = 0, B = 􀀀2 􀀀 2

p

3i, C = (4

p

3 􀀀 2) 􀀀 (4 + 2

p

3)i e

D = 4

p

3 􀀀 4i (dilatamos ABCD por um fator de 4 e giramos 4=3).

5: (a) f(0) = 4, f(1) = 1, f(1 + 2i) = 􀀀3 􀀀 4i, f(2i) = 􀀀8i.

(c) g(0) = 0, g(1) = 1, g(1 + 2i) = 4i 􀀀 3, g(2i) = 􀀀4.

(e) f é conforme em todos os vértices de ABCD e g não é conforme em z = 0 (já que

g0(0) = 0). Por isto o ângulo do vértice A não é preservado por g.

6: (a) f(0) = 1, f(1) = 1