Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Matrizes

Uma matriz é um conjunto de números, símbolos, letras ou qualquer outro elemento que estão dispostos em linhas e colunas.

A definição de matriz está no número de linhas e número de colunas, por exemplo: Se uma matriz tem m colunas e n linhas, dizemos que a matriz tem ordem m x n.

Exemplos de Matrizes:

Matriz Linha

Tem apenas uma linha, independente do número de colunas.

[pic 1]1x3 

Matriz Coluna

Tem este nome por ter apenas uma coluna, independente do número de linhas.

[pic 2]3x1

Matriz Nula

Todos elementos são iguais à zero.

[pic 3] 2x2

Matriz Quadrada

Possui o número de colunas igual ao número de linhas e vice versa ou seja é uma matriz quadrada.

[pic 4]3x3

No caso acima podemos dizer que é uma matriz de ordem 3 ,pois tem 3 colunas e 3 linhas. Se outra matriz tivesse 2 linhas e 2 colunas chamamos de matriz de ordem 2.

No caso de matrizes quadradas podemos observar também que possuem diagonal principal e diagonal secundária, conforme abaixo:

[pic 5]

Matriz Identidade

A matriz será identidade somente quando for quadrada e todos os elementos da Diagonal principal forem iguais a 1 e o restando igual a zero.

[pic 6]

Determinantes

Para calcular o determinante de uma matriz é necessário que ela seja uma matriz quadrada, ou seja, o número de linhas tem que ter o mesmo número de colunas.

Abaixo temos exemplos de cálculos de matrizes.

Determinante Matriz Ordem 1

M= [5] [pic 7]det M = 5 ou I 5 I = 5

Determinante Matriz Ordem 2

Neste caso o determinante será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz e pelo produto de elementos que compõe a diagonal secundária.

Veja abaixo como será feito o cálculo:

[pic 8]

Para o determinante de qualquer matriz 2x2 o calculo será executado da forma apresentada acima.

Determinante de Matriz de Ordem 3 ou acima.

Neste caso o calculo de determinante é um pouco mais complexo, mas creio que a forma mais fácil de efetuar o cálculo seja utilizando a regra de Sarrus.

A Regra de Sarrus consiste em repetir todos os elementos das duas primeiras colunas à direita da matriz.

Em seguida multiplicaremos todos os elementos da diagonal principal e também os elementos das diagonais à direita da mesma.

O mesmo processo é feito com a diagonal secundaria e todos os elementos à sua esquerda.

Após a multiplicação o próximo paço é subtrair os produtos encontrados, conforme o passo a passo abaixo:

Matriz

[pic 9]

1º Passo

[pic 10]

2º Passo

[pic 11]

3º Passo

[pic 12]

Sistemas Lineares

Primeiramente devemos observar a equação linear:

Equação linear é toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

Em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas.

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).