O PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT E PRINCÍPIO DE HAMILTON

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Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Londrina

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Engenharia Ambiental

DISCIPLINA: MECÂNICA II – EB63A – TURMA- EA43

PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT E PRINCÍPIO DE HAMILTON

DISCENTES                                                            

Giordana Ribeiro Mendonça

Ramily M. A. O Meneses

DOCENTE                                        

                                                                        Prof. Raphael Euclides Prestes Salem

Londrina, 21 de março de 2018.

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Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Londrina

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GIORDANA RIBEIRO MENDONÇA

RAMILY M. A. O MENESES

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PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT E PRINCÍPIO DE HAMILTON

                                                                            Prof. Raphael Euclides Prestes Salem

Londrina, 21 de março de 2018.

Sumário

1- Introdução         4

2- Desenvolvimento        5

2.1- Princípio de D’Alembert         5

2.2- Exercício sobre princípio de D'Alembert e D’Alembert - Lagrange        7

          2.3-  Princípio de Hamilton        10

         2.4-  Exercício sobre princípio de Hamilton        11

3- Referências         12

1. INTRODUÇÃO

Algumas ideias desenvolvidas por Galileu, Huyghens e Newton não ficaram tão esclarecidas para alguns cientistas no final do século XVII. Dessa forma no século seguinte, houve uma organização para uma melhor compreensão de alguns pontos e logo desenvolveram novas formulações da teoria da mecânica. Essas formulações constituem a Mecânica analítica, a qual é um ramo da física que desenvolve um conjunto de formalismos e nesse trabalho, dois desses formalismos vão ser apresentados, sendo eles o Princípio de Lagrange-D’Alembert e o Princípio de Hamilton.

Referente ao Princípio de D'Alembert, o filosofo, físico e matemático Jean le Rond d’Alembert, foi o responsável por uma das afirmações do movimento, tornando este princípio um dos mais importantes da mecânica. Trata da movimentação das partículas de um sistema em um determinado tempo. É necessário e importante o estudo desse princípio porque vão existir casos em que as leis de Newton não vão conseguir resolver o problema ou vão ter algumas desvantagens em relação as equações do princípio de D'Alembert, como utilizar as forças de vínculo nos cálculos ou quando o tiver grande número de partículas no sistema.

Já sobre o Princípio de Hamilton não se refere a uma equação do movimento, é utilizada para otimizar trajetórias, uma vez que busca encontrar o menor tempo para que seja percorrido um caminho. Foi desenvolvido por Hamilton nana mas sempre teve influência de outros matemáticos e físicos, como Lagrange. O primeiro de tais princípios da mínima ação foi desenvolvido no campo da óptica e após isso foi desenvolvido equações e formulas, que vão ser mostrados e aplicadas nesse trabalho, para solucionar problemas de trajetória.

1. DESENVOLVIMENTO

2.1- PRINCÍPIO DE D' ALEMBERT

O Princípio de D'Alembert foi desenvolvido em meados do século XVIII pelo Jean le Rond d’Alembert, o qual possui várias obras com temas de matemática e física. Mas antes de iniciar o estudo sobre o Princípio de D'Alembert, é importante ressaltar as leis de Newton, conceito de trabalho virtual, vínculos e coordenadas generalizadas, pois todos esses pontos serão necessários para entender o desenvolvimento da teoria.

Sobre as leis de Newton, a primeira Lei defende que se nenhuma força resultante atua sobre um corpo, a velocidade é constante, não pode mudar a velocidade e consequentemente a aceleração é nula. A segunda Lei é sobre a força resultante que age em um corpo, ser igual o produto da massa do corpo com sua aceleração (Fr= m.a). E a terceira Lei de Newton, descreve que quando dois corpos interagem, as forças que cada um exerce sobre o outro são sempre iguais em modulo mas possuem sentidos opostos. Para o principio em estudo, a segunda Lei de Newton é a mais utilizada.

O conceito de deslocamento, trabalho e velocidade virtual não era tão levado em conta mesmo tendo sua origem antes do surgimento das três leis de Newton. Graças a D' Alembert e Lagrange, este conceito passou a ser tratado como um princípio fundamental da dinâmica, pelo fato de que alguns problemas relativamente simples não podem ser resolvidos pelo método newtoniano e assim, é necessário utilizar o conceito de deslocamento virtual, velocidade virtual e trabalho virtual, sendo estes úteis para se determinar o equilíbrio de um sistema.

O deslocamento virtual é um deslocamento infinitesimal de um ponto a outro possível ponto em uma curva ou em uma superfície e o vetor formado por esses pontos é tangente a curva ou a superfície. O princípio do trabalho virtual afirma que um sistema mecânico só vai estar em equilíbrio se o trabalho virtual de todas as forças aplicadas sobre ele for nulo. Este é outro ponto importante para compor o Princípio de D'Alembert. Trabalho virtual (δri), e as forças (F), sendo assim ∑ F.δri=0.

Faltando ainda outros dois pontos importantes que precisam ser descritos, sendo eles o Vínculo e as coordenadas generalizadas. Vínculo nada mais é que uma restrição geométrica ou cinemática ao movimento das partículas, dessa forma, leva em conta a posição e a velocidade dessas partículas tendo restrições sobre as mesmas. São limitações de ordem cinemática impostas ao sistema mecânico. E as coordenadas generalizadas é um conjunto de coordenadas que são necessárias para descrever a configuração de um sistema, mas para isso elas devem ser independentes entre si, caracterizar somente a configuração do sistema a cada instante e tornar os vínculos identicamente satisfeitos.