Os Polinômios e Equações Polinomiais

2        Nivelamento: Álgebra Básica

2.1        Funções Básicas e Equações

Nesta seção faremos uma breve revisão sobre álgebra básica, assunto que será fundamental para o semestre inteiro. Ao aluno é recomendado ler o Capítulo 1 do livro do

Riley.

2.1.1        Polinômios e Equações Polinomiais

Primeiramente consideremos o caso mais simples de equação, uma equação polinomial na qual uma expressão polinomial em x é igualada a zero e forma uma equação que é satisfeita por valores particulares de x; estes valores são chamadas de raízes da equação.

        f(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0        (1)

Aqui n é um inteiro maior que 0. n é o grau deste polinômio e desta equação. a0, a1,··· , an são quantidades reais com an 6= 0.

Em geral, precisamos encontrar algumas ou todas as raízes da equação. Ou seja, os valores αk que satisfazem a:

f(αk) = 0

As raízes das equações polinomiais são também os zeros das equações polinomiais. Quando as raízes são reais, correspondem aos pontos em que gráfico de f(x) cruza o eixo x (Falar aqui de métodos numéricos e gráficos para determinação das raízes).

Quando as raízes são complexas, a interpretação gráfica do que elas significam não é tão simples.

2.1.2        Raízes Analíticas e Numéricas

Para equações polinomiais com potência de x maior que x4 não há método geral para se obter expressões analíticas para as raízes αk (falar aqui da correlação entre este fato e a solução de problemas de muitos corpos da Mecânica Clássica e Quântica).

Mesmo para n = 3 e n = 4, as receitas são bem complexas. Apenas para o caso de n = 1 e n = 2 as expressões analíticas são simples.

2.1.3        O Caso n = 1

No caso n = 1 temos que:

        a1x + a0 = 0        (2)

e a raiz é portanto α1 = −a0/a1.

2.1.4        O Caso n = 2

No caso n = 2 temos que:

        a2x2 + a1x + a0 = 0        (3)

e as raízes são portanto dadas pelas seguintes equações:

q

        −a1 ±        a21 − 4a2a0[pic 1]

α1,2 =(4)

2a2

Sendo que se ∆ = a21 − 4a2a0 > 0, ambas as raízes são reais. Se ∆ < 0, as raízes formam um par de números complexos (o número complexo e seu complexo conjugado).

No mundo acadêmico é comum dar o nome do pesquisador à sua obra. No Brasil, por volta de 1960, o nome de Bhaskara passou a designar a fórmula de resolução da equação do 2o grau. Não se vê essa nomenclatura em outros países, mesmo porque não foi ele quem a descobriu. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 4000 anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de receita de como proceder para encontrar as raízes da equação quadrática. Na Grécia (500 a.C.) também já se conhecia a resolução de algumas equações e era feito de forma geométrica. O método empregado por Bhaskara nas resoluções das equações quadráticas é do matemático indiano Sridhara (870-930 d.C.) e reconhecido pelo próprio Bhaskara. A fórmula para extrair essas raízes veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que foi quem procurou dar um tratamento mais formal e algébrico para obter uma fórmula geral. Fonte: Wikipédia: https://pt.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_II

2.1.5        Soluções Numéricas

Os métodos numéricos utilizados na determinação de raízes de equações polinomiais serão alvo de estudo mais aprofundado na disciplina de Cálculo Numérico. O aluno interessado poderá visitar o Capítulo 28 do livro do Riley. Aqui apresentaremos algumas ideias gerais de como abordar este problema apenas avaliando a função. Vejamos o caso da equação polinomial abaixo:

        g(x) = 4x3 + 3x2 − 6x − 1 = 0        (5)

Podemos concluir por uma simples análise dos extremos da expressão polinomial que para x grande e positivo a função g(x) assumirá valores grandes e positivos. Já para x grande e negativo a função assumirá valores grandes e negativos. Sendo assim, concluímos que a função g(x) tem pelo menos uma raiz.

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