Os Pontos Críticos

Pontos Críticos

Na matemática os pontos de críticos de uma função também podem ser chamados de pontos estacionários que são pontos no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula ou não é definida.

Definição seja c um número no domínio D de uma função f. Então f (c) é o

■ valor máximo absoluto de f em D se para todo x em D.

■ valor mínimo absoluto de f em D se para todo x em D.

[pic 1]

[pic 2]

Na segunda definição e em outras situações, se dissermos que algo é verdadeiro em verdadeiro próximo a c, queremos dizer que é verdadeiro em algum intervalo aberto contendo c. Por exemplo, na Figura 3 vemos que f (4) = 5 é um valor mínimo local, pois é o menor valor de f no intervalo I. Não é o mínimo absoluto porque f(x) tem valores menores quando x está próximo de 12 (no intervalo K, por exemplo). Na verdade, f (12) = 3 é tanto o mínimo local quanto o mínimo absoluto. De forma análoga, f (8) = 7 é o máximo local, mas não é o máximo absoluto porque f tem valores maiores perto de 1.

Se f (x) = x2, então, pois para todo x. Consequentemente,
f (0) = 0 é o valor mínimo absoluto (e local) de f. Isso corresponde ao fato de que a origem é o menor ponto na parábola . (Veja a Figura 1.) Porém, não há um ponto mais alto sobre a parábola e, dessa forma, a função não tem um valor máximo.

[pic 3]

Outro Exemplo:

Do gráfico da função f (x) = x3, mostrado na Figura 5, vemos que essa função não
tem um valor máximo absoluto, nem um valor mínimo absoluto. De fato, ela também não tem
nenhum valor extremo local.

[pic 4]

O gráfico da função está mostrado na Figura 4. Você pode ver que f (1) = 5 é um máximo local, enquanto o máximo absoluto é f (-1) = 37. (Este máximo absoluto não é um máximo local, pois ele ocorre em extremo do intervalo.) Além disso,  f(0)=0 é um mínimo local e f (3) = -27 é um mínimo local tanto quanto absoluto. Observe que f não tem um máximo local nem um máximo
absoluto em x= 4.

f (x)=3x4- 16x3+ 18x2

[pic 5]

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