POLINOMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE

[pic 1]

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Relatório final sobre Interpolação e Integração

apresentado à disciplina de Cálculo Numérico

do curso Superior de Engenharia Elétrica

João Pessoa

Abril/ 2016

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

INTRODUÇÃO

Equações diferenciais ordinárias – EDO – ocorrem com muita frequência na descrição de fenômenos da natureza. Um exemplo bem simples é o crescimento da população de bactérias numa colônia. Pode-se supor que sob condições ambientais favoráveis, a taxa de crescimento da colônia seja proporcional ao número de indivíduos num dado tempo; se y(t) for o número de indivíduos no tempo t, tem-se a equação y(t) = ky(t).

Há vários métodos que resolvem analiticamente uma EDO. Porém, nem sempre é possível obter uma solução analítica de uma EDO. Neste caso, os métodos numéricos são a saída para se encontrar uma solução aproximada.

MÉTODO DE EULER

EXERCÍCIOS

1. Através do método de Euler (m=100) na malha [0;7] ms, calcule a tensão de saída y(t) do circuito RC paralelo para uma tensão de entrada x(t) = u(t). Sabendo-se que a resposta exata é dada por y(t) = 1 – e-t / τ , traçar num mesmo gráfico as resposta exata e numérica obtidas.

[pic 2]

 [pic 3]

R:

%---------------------------------------------------------

% IFPB - 08/03/2016

% MÉTODO DE EULER

% QUESTÃO 1

%---------------------------------------------------------

 

a=0; b = 7; m = 100; tl = 0.001

h=(b-a)/m;

t(1)=0; U(1)=1;

for j=1:m

    U(j+1)=U(j)+h*(0.001*U(j));

    t(j+1)=t(j)+h;

end

TEXATO =(1- exp(-t/tl));

plot(t./60,TEXATO,'K',t./60,U,'g--')

legend('Resposta Exata', 'Método de Euler')

Obtivemos o seguinte gráfico:

[pic 4]

1. Através do método de Euler (m=100) na malha [0;5] ms, calcule a tensão de saída y(t) e a tensão no capacitor vc(t) do circuito RC série para uma tensão de entrada x(t) = 50u(t). Traçar num mesmo gráfico as respostas exata e numérica obtidas.

[pic 5]

  ; [pic 6]

Vc(t) = x(t).(1 – e –t / RC )[pic 7]

;[pic 8]

                                                                                         y(t) = x(t). e –t / RC

 

R:

%---------------------------------------------------------

% IFPB - 08/03/2016

% MÉTODO DE EULER

% QUESTÃO 2

%---------------------------------------------------------

 

clear all, close all, clc,

 a=0; b = 5; m = 100; Vc = 0; tl = 0.001;

h=(b-a)/m;

t(1)=0; y(1)=50; x(1)=50;

for j=1:m

    y(j+1)=y(j)+h*(x(j)-(Vc)/0.001);

    t(j+1)=t(j)+h;

end

TEXATO =x(1).*exp(-t/tl);

plot(t./60,TEXATO,'K',t./60,y,'g--')

legend('Resposta Exata', 'Método de Euler')

O programa a cima gerou o seguinte gráfico:

[pic 9]

1. Resolva o problema de resfriamento de um corpo através do método de Euler (m = 100) na malha [ 0; 10]h. Traçar num mesmo gráfico as respostas exatas e numérica obtidas.

[pic 11][pic 10]

 T(t) = Tamb +  T0 – Tamb]. e –k (t – t0)

R:

%---------------------------------------------------------

% IFPB - 08/03/2016

% MÉTODO DE EULER

% EXEMPLO DE APLICAÇÃO - LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

%---------------------------------------------------------

% t = tempo (min)

% T = temperatuta do corpo

% Tamb = temperatura ambiente

%k = constante experimental

clear all, close all, clc,

k = 0.0116; Tamb = 10; a=0; b = 600; h = 6;

m=(b-a)/h;

t(1)=0; T(1)=30;

for j=1:m

T(j+1)=T(j)+h*(-k*(T(j)-Tamb));

t(j+1)=t(j)+h;

end

TEXATO =Tamb + (T(1)-Tamb).*exp(-k.*(t-t(1)));

plot(t./60,TEXATO,'K',t./60,T,'b--')

legend('Resposta Exata', 'Método de Euler')

xlabel('tempo, (h)'), ylabel('graus Celsius')

As aproximações obtidas podem ser verificadas no gráfico abaixo:

[pic 12]

1. Resolva o problema de decaimento radioativo do carbono 14 através do método de Euler (m=100) na malha [ 0; 12000] anos. Traçar no mesmo gráfico as respostas exata e numérica obtidas para quantidade de material Q(t).

  ; Q(t) = Q0.ekt   (k=-1,244x10-4 ; Q0 = 4,36 u de C14)[pic 13]

R:

%---------------------------------------------------------

% IFPB - 08/03/2016

% MÉTODO DE EULER - QUESTAO 4

% EXEMPLO DE APLICAÇÃO - DECAIMENTO RADIOATIVO

%---------------------------------------------------------

 

clear all, close all, clc,

k = -0.0001244; a=0; b = 12000; m = 100;

h=(b-a)/m;

t(1)=0; Q(1)=4.36;

for j=1:m

    Q(j+1)=Q(j)+h*(k*(Q(j)));

    t(j+1)=t(j)+h;

end

TEXATO =Q(1).*exp(k.*(t));

plot(t./60,TEXATO,'K',t./60,Q,'g--')