Relatório de Métodos Numéricos - Sistemas de Equações Não-Lineares

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Universidade Federal do Ceará

Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

Relatório - Laboratório 06

Sistemas de Equações Não-Lineares: Método de Newton-Raphson

Aluno: Carlos Alberto César Mesquita Mat.:356245

Professor: Wilkley

 

Fortaleza – Ceará - 2017

Introdução

Na resolução de problemas práticos, sistemas não-lineares aparecem com freqüência, tanto pela variabilidade natural dos dados encontrados em observações práticas, como por abranger uma gama maior de funções, como funções transcendentes, em detrimento dos sistemas lineares.

A solução de Sistemas Lineares é dada pela interseção das funções de ordem 1, ou seja, retas. Analogamente, Sistemas Não-Lineares possuem soluções correspondentes às interseções das funções não-lineares. Dessa forma, o caso onde há infinitas soluções, relativo à coincidência das funções, se torna mais difícil de acontecer em um sistema não-linear, visto que as funções podem gerar diversos gráficos, das mais variadas formas. Assim, na maioria dos casos a função converge, possuindo então pontos de interseção das funções; ou diverge, não possuindo pontos de interseção entre as funções.

Sistemas Não-Lineares são mais difíceis de resolver analiticamente, podendo até ser inviáveis de resolver dessa forma. Assim, métodos iterativos de aproximação se mostram muito úteis para a obtenção das raízes, sendo uma ferramenta importante na resolução de problemas. Tais métodos se tornam ainda mais práticos com o auxilio de um programa computacional, evitando cálculos tediosos e a possibilidade de erros ao calcular.

Na atividade de laboratório utilizou-se o MATLAB na resolução dos problemas em questão.

Atividade 06 – Laboratório

1.

a) Script function SNL:

clear; clc;

%Método de Newton-Raphson para Sistemas Não Lineares;

 

disp('Método de Newton-Raphson:')

xa = [0.5; 0.5; 0.5];

n = 0;

maxit = 500;

tol = 0.0000001;

tic

x = Newtraph_nonlin(xa, tol, n, maxit)

toc

 

 

%Método de Newton-Raphson Modificado para Sistemas Não Lineares;

disp('Método de Newton-Raphson Modificado:')

xa = [0.5; 0.5; 0.5];

n = 0;

maxit = 500;

tol = 0.0000001;

Jac = Jacobiano(xa);

tic

y = Newtraphmod(xa, tol, n, maxit);

disp('y =');

disp(y);

toc

Script function Jacobiano:

function J = Jacobiano(x)

 

n = length(x);

J(1,1) = 2*x(1);

J(1,2) = 2*x(2);

J(1,3) = 2*x(3);

J(2,1) = 4*x(1);

J(2,2) = -2*x(2);

J(2,3) = 4;

J(3,1) = 6*x(1);

J(3,2) = -4;

J(3,3) = 2*x(3);

 

Script function Func:

function F = Func(x);

F(1,1) = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 -1;

F(2,1) = 2*x(1)^2 - x(2)^2 + 4*x(3);

F(3,1) = 3*x(1)^2 - 4*x(2) + x(3)^2;

Script function Newtraph_nonlin:

function x = Newtraph(xa, tol, n, maxit)

 

for i=1:maxit

   

Jac = Jacobiano(xa);

F = Func(xa);

s = inv(Jac)*(-F);

x = xa + s;

 

if norm(s,inf) <= tol

    n = i;

    break

   

   

else   

xa = x;

n=i;

 

if i==maxit

    disp('O método diverge para os argumentos de entrada.');    

 

end

end

end

disp('Número de Iterações:');

disp(n);

 

end

Script function Newtraphmod:

function y = Newtraphmod(xa,Jac, tol, n,maxit)

xa = [0.5; 0.5; 0.5];

n = 0;

maxit = 500;

tol = 0.0000001;

Jac = Jacobiano(xa);

for i=1:maxit    

F = Func(xa);

s = inv(Jac)*(-F);

y = xa + s;

if norm(s,inf) < tol

    n = i;

    break

else

xa=y;

n=i;

end

if i == maxit

    disp('O método diverge para os argumentos de entrada.');

    end

end

disp('Número de iterações:');

disp(n);

end

Janela de Comando:

Método de Newton-Raphson:

Número de Iterações:

     6

x =

    0.8147

    0.5155

   -0.2655

Elapsed time is 0.000716 seconds.

Método de Newton-Raphson Modificado:

Número de iterações:

    45

y =

    0.8147

    0.5155

   -0.2655

Elapsed time is 0.002069 seconds.

Dessa forma, observa-se que o tempo em Newton-Raphson Modificado é maior, mas é proporcionalmente menor que o método de Newton-Raphson, levando em conta o número de iterações.

b) Script SNL: