SIMULAÇÃO DE LANÇAMENTO DE PROJÉTIL

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO

FERNANDO DOS SANTOS SOARES

IGOR LUCIANO MAGRO

LEONARDO CORREIA

SIMULAÇÃO DE LANÇAMENTO DE PROJÉTIL

SÃO JOSÉ DOS CAMPOS

2018

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FERNANDO DOS SANTOS SOARES - 114283

IGOR LUCIANO MAGRO - 114288

LEONARDO CORREIA - 114294

SIMULAÇÃO DE LANÇAMENTO DE PROJÉTIL

Atividade referente ao Projeto 1 –

Simulação de Lançamento de Projétil da

unidade curricular de Modelagem

Computacional apresentada ao curso de

Ciência e Tecnologia da Universidade

Federal de São Paulo.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Gonçalves

Quiles

SÃO JOSÉ DOS CAMPOS

2018

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Sumário

1 Modelagem ............................................................................................................... 3

1.1 Modelo matemático......................................................................................................... 3

1.2 Resultados ....................................................................................................................... 5

1.2.1 Posição da partícula (Lançamento de projétil) ........................................................... 5

1.2.2 Deslocamento em x .................................................................................................... 7

1.2.3 Deslocamento em y .................................................................................................... 8

1.2.4 Energia Cinética ......................................................................................................... 9

1.2.5 Energia cinética e potencial ..................................................................................... 10

2

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1 Modelagem

O seguinte relatório simula o lançamento oblíquo de uma partícula. O objetivo e

descrever o comportamento de uma partícula durante o trajeto, utilizando o método de Euler e

analisando alguns aspectos: velocidade vertical e horizontal, velocidade normal, deslocamento

vertical e horizontal, energia cinética, energia potencial gravitacional e trajetória.

Para tal, os seguintes parâmetros foram utilizados:

• Partícula de massa: 1,5 kg;

• Velocidade inicial da partícula: 50m/s;

• Tempo inicial: 0s.

• Ângulo de lançamento (θ): 45o, 0.7853 em radianos;

• Tempo de simulação: 10 s;

• Aceleração da gravidade: 9,81 m/s;

• ∆t (Variação ponto a ponto): 0,01s;

• Altura inicial: 0 m.

Além disso foi interessante analisar o movimento quando a partícula foi exposta ao atrito

(resistência do ar). Para esta situação foi considera uma constante de atrito k = 0,55.

1.1 Modelo matemático

Como enunciado, as equações matemáticas para análise do movimento da partícula

foram modeladas utilizando o método de Euler, que basicamente é um procedimento numérico

de primeira ordem para solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado.

Partindo deste princípio, os seguintes resultados foram obtidos:

Segunda lei de Newton: F = m.a → F = m.

dv dt

Para velocidade horizontal,temos:

Vx(t) = V(t).cos (θ)

m.

dv dt

= −kv,onde k é a constante de atrito

dv dt

=

−kv m

3

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Aplicando método de Euler,temos:

dv dt

→

∆v ∆t

∆vx = (

−kv m

)∆t

Aplicando o passo de integração:

Vx(t + ∆t) = Vx(t) - (

−kv m

)∆t

Para velocidade vertical,temos:

Vy(t) = V(t).sen (θ)

m.

dv dt

= g − kv,onde k é a constante de atrito

dv dt

=

g − m

kv

Aplicando método de Euler,temos:

dv dt

→

∆v ∆t

∆vy = (

g−kv m

)∆t

Aplicando o passo de integração:

Vx(t + ∆t) = Vx(t) +(

g−kv m

)∆t

Velocidade modular:

V(t + ∆t) = √(Vx(t + ∆t)2 + (Vy(t + ∆t)2

Para desolocamento horizontal,temos:

dx dt

= Vx(t + ∆t) →

∆x ∆t

= Vx(t + ∆t) → ∆x = Vx(t + ∆t)∆t

Aplicando o passo de integração,temos:

x(t + ∆t) = x(t) + Vx(t)∆t − (

−kv m

)∆t2

4

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Para desolocamento horizontal,temos:

dy dt

= Vy(t + ∆t) →

∆y ∆t

= Vy(t + ∆t) → ∆y = Vy(t + ∆t)∆t

Aplicando o passo de integração,temos:

y(t + ∆t) = y(t) + Vy(t)∆t + (

g−kv m

)∆t2

Energia cinética:Ec =

2

2

1.2 Resultados

O modelo descrito foi implementado em Python, o código gera um arquivo de texto com

os resultados da modelagem, são eles: velocidade, deslocamento, energia cinética e potencial.

Abaixo temos os gráficos plotados a partir dos resultados, eles foram feitos em R com RStudio.

1.2.1 Posição da partícula (Lançamento de projétil)

Abaixo temos os gráficos da posição da partícula considerando o deslocamento

em (x, y). O gráfico da figura 1 é o resultado da trajetória do projétil considerando o atrito