Simulações de Discretização de um Controlador por Euler Backwards e pelo Método do Trapézio

ENG10019 – Sistema de Controle Digitais

Murilo de Oliveira Provenzi – 191708  

OBJETIVOS

• Simular o comportamento da planta G(s) submetida ao controlador C(s), cujas funções de transferência são respectivamente  e ;[pic 1][pic 2]
• Simular a resposta da planta utilizando aproximação Euler Backwards e/ou Trapézio para discretizar o controlador;
• Comparar o desempenho do sistema em malha fechada para diferentes períodos de amostragem;
• Comparar o desempenho de Euler Backwards com Trapézio;

 

DESENVOLVIMENTO

        No Simulink, foram implementadas as malhas correspondentes ao controlador no contínuo e no discreto por Euler Backwards e Trapézio, respectivamente de cima para baixo na figura 1.

[pic 3]

Figura 1 – Diagramas de blocos no Simulink

        A partir da função de transferência de G(s), tem-se que a constante de tempo da planta é de . Assim, segundo o Teorema da Amostragem (Nyquist), o período de entre as amostras deve ser menor do que 0,5 s. Foram simuladas então as respostas do sistema para quatro valores diferentes do período de amostragem, dados na Tabela 1. Os valores selecionados são os da constante de tempo do sistema e a metade de seu valor, que não obedecem ao teorema, bem como um décimo e um vinte-avos, respectivamente 5 e 10 vezes a frequência exigida pelo teorema.[pic 4]

Simulação  (s)[pic 5] 1 1 2 0,5 3 0,1 4 0,05

Tabela 1 – Valores de [pic 6]

RESULTADOS E DISCUSSÃO

        A Figura 2 apresenta as respostas utilizando a discretização por Euler Backwards com os quatro períodos de amostragem diferentes. Percebe-se que com Ts = 1 s a resposta após os 10 segundos de simulação não atinge ainda o regime permanente, diferentemente dos outros casos. Ainda, com Ts = 0,5 s, a resposta está bem diferente do contínuo, o que é esperado por não ter sido respeitado o Teorema da Amostragem. Também é visível que, com Ts = 0,1 s e Ts = 0,05 s, o desempenho do sistema é muitíssimo próximo do caso contínuo, o que significa que uma amostragem de dez vezes já apresenta um desempenho suficiente para muitas aplicações. É visível que é pequena a diferença entre estes dois menores períodos de amostragem. A figura 3 apresenta as respostas utilizando a discretização por Trapézio, e as mesmas conclusões podem ser obtidas a partir de sua análise.

[pic 7]

Figura 2 – Respostas com Euler Backwards

[pic 8]

Figura 3 – Respostas com Trapézio

        As figuras 4 e 5 apresentam comparações entre o desempenho do sistema utilizando controlador contínuo, discretizado por Euler Backwards e discretizado por Trapézio respectivamente e dos respectivos sinais de controle. Foi utilizado o período de amostragem de 0,1 s para realizar a comparação pois neste caso o sistema contínuo foi suficientemente bem alcançado. Como esperado, percebe-se pela figura 4 que o desempenho do controlador utilizando Trapézio foi suavemente superior ao Euler Backwards em comparação com o contínuo, embora essa diferença seja bastante pequena. Pela figura 5, pode-se ver que o seu sinal de controle é levemente mais suave do que o Euler Backwards e, portanto, um pouco mais próximo daquele do controlador no contínuo, o que explica essa pequena diferença de desempenho. Isso é consequência do método de Trapézio utilizar também o valor seguinte da medida para fazer o cálculo do seu sinal de controle, enquanto que o Euler Backwards usa apenas valores passados.

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