Solução de Equação diferencial de primeira ordem

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ[pic 1] CENTRO DE TECNOLOGIA DEPTO.: ENGENHARIA QUÍMICA GRADUAÇÃO: ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: ANÁLISE NUMÉRICA TRABALHO 12 SOLUÇÃO DE EDP 29/01/16 ALUNO: EMMANUEL PAULO RIBEIRO DA SILVA MATRÍCULA:  368635

OBJETIVOS

• Utilizar a ferramenta Excel visando a determinação da solução de uma Equação Diferencial Parcial aplicada em um problema de aquecimento de uma barra usando o método das diferenças finitas.

INTRODUÇÃO

As Equações Diferenciais Parciais, como já apresentadas no Trabalho 11, são equações que envolvem várias funções-incógnitas de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Tais equações são geralmente empregadas na descrição de problemas reais de matemática, física e engenharia.

Novamente, o método o método empregado é o das Diferenças Finitas, que consiste na discretização do espaço amostral e aplicação das aproximações numéricas das derivadas de primeira, segunda ou de ordem superior, determinando assim o valor da variável dependente nestes pontos.

Mais um vez serão utilizados os conhecimentos de derivação numérica, agora de derivadas parciais. As aproximações para derivadas parciais de primeira e segunda ordem são:

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PROBLEMÁTICA

Uma barra metálica de comprimento total L = 100cm é formada por dois metais de propriedades térmicas diferentes (para 0 ≤ L ≤ 50cm, α = 1 e para  50 < L ≤ 100 cm,  α=2). A barra se encontra a temperatura inicial de T0 = 50°C. A extremidade L = 0 será mantida à temperatura de T = 20°C e a extremidade L = 100 será mantida à temperatura de T = 150°C. Determinar o perfil de tempeartura em toda a extensão da barra ao longo do tempo. Para tanto, deve-se resolver a equação da difusividade do calor da barra apresentada abaixo:

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Onde,  é a temperatura na posição  da barra no instante .[pic 8][pic 9][pic 10]

DESENVOLVIMENTO

Sabendo que a equçaõ da difusividade é dada por uma EDP para a qual existe uma condição inicial e outra de contorno, é possível resolvê-la aplicando as aproximações numéricas das equações diferenciais à EDP dada.

Condição inicial: a barra encontra-se no tempo  à temperatura inicial de  ao longo de toda sua extensão, portanto .[pic 11][pic 12][pic 13]

Condição de contorno: a temperatura nas duas extremidades da barra é constatnte ao longo do tempo, portanto,  e .[pic 14][pic 15]

Assim, a seguinte expressão é obtida:

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Pondo o termo  em evidência, tem-se:[pic 17]

[pic 18]

Desse modo, como os valores de ,  e  são conhecidos devido a condições inicial e de contorno, quanquer valor posterior de  pode ser determinado.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Na Tabela 1 e Figura 1 são apresentados os resultados para o comportamento da temperatura ao longo da barra com o passr do temo. Nela foram utilizados os valores de α propostos e os passos  e .[pic 23][pic 24]

		Posição x - (cm)
		0	5	10	15	...	90	95	100
Temperatura T - (°C)	0	20	50	50	50	....	50	50	150
5	20	44,00	50,00	50,00	...	50,00	90,00	150
10	20	40,40	48,80	50,00	...	66,00	98,00	150
15	20	38,00	47,36	49,76	...	72,40	106,00	150
20	20	36,27	45,97	49,33	...	79,44	110,16	150
25	20	34,96	44,70	48,78	...	84,05	113,81	150
30	20	33,91	43,57	48,18	...	88,27	116,38	150
35	20	33,06	42,56	47,55	...	91,58	118,58	150
40	20	32,35	41,66	46,93	...	94,51	120,35	150
45	20	31,74	40,85	46,32	...	96,99	121,87	150
50	20	31,21	40,12	45,73	...	99,19	123,17	150
55	20	30,75	39,46	45,16	...	101,13	124,31	150
60	20	30,34	38,86	44,62	...	102,86	125,31	150
65	20	29,98	38,31	44,11	...	104,43	126,21	150
70	20	29,65	37,80	43,62	...	105,84	127,01	150
75	20	29,35	37,34	43,16	...	107,13	127,74	150
80	20	29,08	36,90	42,72	...	108,32	128,40	150
85	20	28,83	36,50	42,30	...	109,41	129,01	150
90	20	28,60	36,13	41,90	...	110,42	129,57	150
95	20	28,38	35,77	41,52	...	111,36	130,08	150
100	20	28,18	35,45	41,16	...	112,24	130,56	150
105	20	28,00	35,14	40,81	...	113,06	131,01	150
110	20	27,83	34,84	40,48	...	113,82	131,42	150
115	20	27,66	34,57	40,16	...	114,54	131,81	150
120	20	27,51	34,31	39,86	...	115,22	132,18	150

Tabela 1. Cálculo de u(x,t) pelo Método das Diferenças Finitas para os passos: ht=5 e hx=5. Notar a condição inicial inserida na linha t=0 e a condição de contorno inserida nas colunas x=0 e x=100. Tabela com termos centrais omitidos.

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