Soluções fundamentais de equações lineares homogêneas

Valor Inicial (P.V.I.). Uma equação linear de segunda ordem é homogênea se a função g(t) na equação (2) (ou a função G(t) na equação (3)) forem identicamente nulas, isto é,

ou

São equações diferenciais lineares homogêneas. Veremos que será fundamental saber resolver os problemas de equações homogêneas para poder depois resolver as equações não homogêneas, onde os termos g(t) (ou G(t)) podem ser funções não nulas.

3.1.2 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS

Teorema 1 - (Existência e Unicidade)

Considere o problema de valor inicial

Onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I =(α, β) contendo o ponto t0. Então existe uma única solução y = ϕ(t) para o problema (4), para todo t ∈ I.

Exemplo 2 - Encontre o maior intervalo no qual a solução do P.V.I. abaixo existe e é única.

Primeiro escrevemos a equação na forma (2):

Os pontos de descontinuidade são t =0 e t =3. Portanto um intervalo I onde p, q e g são todas contínuas e contém o ponto t0 =1 é I = (0, 3).

Exemplo 3 - Encontre a única solução do P.V.I.:

Onde p e q são contínuas em um intervalo aberto I contendo t0.

Solução: y = ϕ(t)=0, para todo t ∈ I.

Teorema 4 - (Princípio da Superposição)

Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y"+p(t)y’+q(t)y=0 (5); então a combinação linear c1y1+c2y2 também é solução de (5), para quaisquer constantes c1 e c2.

Demonstração: