Trabalho De Equacoes Lineares Nao Homogeneas

Introdução

Equações Lineares Não Homogéneas

No capítulo anterior vimos que a solução geral de uma equação linear pode ser obtida como a soma da solução geral da equação homogénea correspondente, mais uma solução particular da equação não homogénea. Vimos também como calcular a solução de equações lineares homogéneas de coeficientes constantes e de Euler. Neste capítulo veremos os métodos para calcular uma solução particular da equac¸a˜o não homogénea.

Méetodo dos coeficientes indeterminados

Consideremos as equações diferenciais lineares de coeficientes constantes

y^''+by^'+cy=f(x) (0)

Para algumas funções f(x) e´ fácil descobrir uma solução particular da equação vamos considerar alguns casos e depois generalizaremos o método.

Funções exponenciais

Pro exemplo a equação

y^''+3y^'+2y=2e^3x

Como as derivadas da função exponencial são múltiplos da propiá função, esperamos que existam soluções particulares da forma

y=Ae^3x

Onde A e´ um coeficiente a ser determinado. As derivadas da função são

y^'=3Ae^3x

e

y^''=9Ae^3x

e substituindo na equac¸a˜o diferencial

y^''+3y^'+2y=20Ae^3x

e para que a func¸a˜o seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o,A devera´ ser igual a 0,1.

Sistemas de equac¸o˜ es diferenciais

Definic¸a˜ o

Um sistema de n equac¸o˜ es diferenciais de primeira ordem e´ um conjunto de n equac¸o˜ es diferenciais, com uma varia´vel independente t e n varia´veis dependentes x1, x2, . . . , xn, que podem ser escritas da seguinte forma

(dx_1)/dt=F_1 (x_1,…,x_n,.x_1^,,…x_n^,,t) (1)

(dx_2)/dt=F_2 (x_1,…,x_n,.x_1^,,…x_n^,,t) (2)

(dx_n)/dt=F_n (x_1,…,x_n,.x_1^,,…x_n^,,t)

onde F1, F2, . . . , Fn sa˜o quaisquer func¸o˜ es de 2n+1varia´veis reais, que definem o sistema. Na˜o sera´ necessa´rio considerar sistemas de equac¸o˜ es de ordem superior a 1, devido a que se alguma das equac¸o˜ es diferencias for de ordem superior, podera´ ser escrita como um sistema de equac¸o˜ es de primeira ordem como veremos no exemplo