Estatística - distribuições especiais

Distribuições especiais de probabilidade

introdução:

As distribuições de probabilidade são modelos matemáticos que relacionam um determinado valor de uma variável com a sua probabilidade ocorrência.

Podendo ser divididas em duas categorias:

Distribuições discretas: quando a variável em questão só pode assumir certos valores. Ex: inteiros. (P(X = X0) = P(X0).

Distribuições contínuas: quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua. (P(a ≤ X ≤ b) = ∫_𝑎^𝑏▒𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Distribuição binomial:

Só há dois possíveis resultados para cada tentativa: “sucesso” ou “fracasso”;

A probabilidade de “sucesso” em cada tentativa é constante e denominada “P”;

Cada tentativa é independente uma da outra;

A variável de interesse é o número de sucesso em “n” tentativas.

Fórmula geral da distribuição binomial para x sucessos:

P (𝑋=𝑥) = 𝑛!/𝑥!(𝑛−𝑥)!∗𝑝^𝑥∗〖(1−𝑝)〗^(𝑛−𝑥), 𝑥=1, 2, …, 𝑛.

𝑥 = número de sucessos em n tentativas;

𝑛= tamanho da amostra (número de tentativas);

𝑝= probabilidade de sucesso.

Distribuição de Poisson:

Caso particular de uma distribuição normal;

Adequada para descrever situações em que existe uma probabilidade de ocorrência em um campo ou um intervalo contínuo.

Condições de aplicação:

A probabilidade de um acontecimento, embora muito pequena, é verificável em amostras muito grandes;

O número de ocorrência depende somente da extensão do intervalo;

As ocorrências acontecem independentemente.

Caracterizada por apenas um parâmetro: λ (taxa média)

𝑓(𝑥)=𝑃(𝑋=𝑥)=(е^(−λ)∗λ^𝑥)/𝑥!, 𝑥=0, 1, …𝑒 λ>0.,

Média e variância:

µ=λ

σ=λ

Distribuição normal:

Propriedades:

A área total sob a curva vale 1;

Média, moda e mediana se confundem no ponto máximo da curva;

A curva possui dois pontos de inflexão (µ+σ e µ-σ);

Aproximadamente 68% da área está situada entre os pontos de inflexão.

Assumindo que µ = 0 e σ = 1, podemos usar, por questão de praticidade, a fórmula reduzida, denominada “distribuição normal padrão”:

𝑍=(𝑥−µ)/σ