Teorema de Napoleão

Teorema de Napoleão

Introdução

O Teorema de Napoleão diz que: “Dado um triângulo qualquer ABC de lados BC = a, AC = b e AB = c, são construídos, externamente, três triângulos equiláteros sobre os lados do triangulo ABC. Os centros destes triângulos são vértices de um triangulo também equilátero.” Esse teorema vem despertando a curiosidade de todos deste seu enunciado.

Apesar do Teorema levar o nome de Napoleão Bonaparte, não se sabe ao certo se este hábil político e soldado francês foi o responsável pela demonstração do mesmo, muito embora a Historia registre que Napoleão tinha grande admiração pela Matemática e também possuía amigos matemáticos, físicos, dentre outros cientistas que viveram em sua época.

Enunciado no ano de 1787, o teorema já era conhecido pelos matemáticos que viveram antes de Napoleão, mas sua demonstração ainda era um grande problema. Com o passar do tempo e após vários matemáticos envolverem-se no estudo do teorema, diversas demonstrações foram publicadas sobre o tema, dentre elas uma bastante simples, porém elegante, e que será estudada nesse trabalho de classe.

Demonstração

1ª Demonstração

        A primeira demonstração definida pela equipe e que será apresentada em sala de aula envolve os seguintes conceitos:

- congruência de triângulos (observação de 3 pares de triângulos congruentes). As três congruências envolvem o caso LAL;

- semelhança de triângulos (observação de 3 pares de triângulos semelhantes);

- cálculo da altura h de um triângulo equilátero em função de seu lado l;

- razão de semelhança;

- análise detalhada das conclusões obtidas após o estudo dos conceitos 0anteriores.

2ª Demonstração

        Encontrada na Revista do Professor de Matemática nº 94 – Ano 35 – 2º Quadrimestre – 2017, pág. 20-21 – SBM/Sociedade Brasileira de Matemática, esta segunda demonstração elegante do Teorema de Napoleão envolve a análise dos conceitos abaixo discriminados:

- circunferência circunscrita;

- triângulo inscrito;

- intersecção entre circunferência;

- ângulo de uma volta;

- quadrilátero inscrito;

- soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito;

- conceito de mediatriz de um segmento.