Uma Experiência Sobre o Ensino de Sistemas Lineares

Uma Experiência sobre o ensino de sistemas lineares

        O artigo a seguir apresenta algumas percepções de professores participantes de um curso de aperfeiçoamento de professores, no qual é pretendido mostrar como a interpretação geométrica pode contribuir para uma melhor compreensão do estudo dos sistemas lineares.

A análise feita pelos professores

        Dois aspectos destacaram-se:

Interpretação geométrica dos sistemas lineares 3x3.

Segundo professores, não é usual interpretar geometricamente os sistemas lineares 3x3.

Cada equação do sistema:

{ax + by= c

{dx + by = f

Representada uma reta com posição relativas; podendo ser retas concorrentes, paralelas ou coincidentes, assim o sistema possuirá solução única, não possuirá solução, ou possuirá infinitas soluções, respectivamente.

Considerando sistemas lineares 3x3 suas equações representarão planos no espaço tridimensional, logo, as possibilidades para as posições dos três planos serão 8, 4 delas são sistemas impossíveis, 3 serão sistemas indeterminados, e 1 sistema que possuem uma única solução.

Saber fazer a interpretação geométrica deixa os professores mais à vontade na hora de ensinar Sistemas Lineares para seus alunos, promovendo assim uma melhor explicação e um entendimento mais claro para os mesmos, afinal, com o abstrato é sempre mais fácil de se entender o conceito.

Ao associar um plano a cada equação do sistema linear 3x3, a abordagem geométrica permite distinguir tipos diferentes de sistemas: indeterminados e impossíveis.

Analisando as possibilidades os professores perceberam que no caso dos sistemas indeterminados, as infinitas soluções podem ser os pontos de um plano ou de uma reta, no caso da representação por meio de um plano ainda pode-se haver a possibilidade de uma intersecção entre dois planos através de uma reta, no espaço esses dois planos serão coincidentes e não paralelos.

No caso dos sistemas impossíveis, a inexistência de soluções pode ocorrer de maneiras distintas, onde dois ou três planos podem ser paralelos entre si ou se interceptar  dois a dois, segundos 3 retas paralelas.

Regra de Cramer x Escalonamento

A regra de Cramer só pode ser aplicada quando o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas do sistema não seja nulo; Nesse caso os três planos se intersectam num ponto e o sistema tem solução única. Vários livros afirmam erroneamente que um sistema que possui nulo todos os determinantes da regra de Cramer é o indeterminado.

Os professores entrevistados afirmam que a interpretação geométrica dos sistemas lineares possibilitou-lhe perceber claramente a falsidade dessa afirmativa, através de exemplos que eles próprios conseguiram construir.

A partir do curso os professores passaram a utilizar mais, e dar ênfase ao método do escalonamento, tendo assim mais clareza, entendimento e segurança em suas práticas quando abordam tal assunto.

Conclusão:

A associação da Geometria Espacial com os Sistemas Lineares 3x3, foi uma surpresa para os professores, que logo pensaram em uma forma de adaptar sua interpretação à realidade da sala de aula.