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O Problema de Programação Linear

Por:   •  3/10/2022  •  Exam  •  4.228 Palavras (17 Páginas)  •  100 Visualizações

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[pic 1]

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS

[pic 2]

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

FUNDAMENTOS DE PESQUISA OPERACIONAL E DE SIMULAÇÃO APLICADOS A SOFTWARE

Profª Bia Leite

Avaliações

T1

P1

Trabalho

P2

Recuperação

05/09

19/09

07/11

21/11

05/12

  1. INTRODUÇÃO        

A Pesquisa Operacional (PO) foi o nome dado ao conjunto de processos e métodos de análise desenvolvidos por um grupo de cientistas que assessoraram as forças militares inglesas na Segunda Guerra Mundial. A motivação foi tomar decisões com bases científicas sobre a melhor utilização de material de guerra, como: emprego eficiente do radar, uso de canhões antiaéreos, escolta naval, etc.

Após a guerra, as ideias propostas foram adaptadas para melhorar a eficiência e a produtividade do setor civil.

  1. MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR        

A Modelagem Matemática é um processo que, a partir de algumas etapas, busca representar um problema real por meio de um modelo matemático. Assim, podemos dizer que o modelo matemático é uma representação simplificada da realidade. Esse processo pode ser sintetizado a parir do seguinte esquema:[pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6] [pic 7] [pic 8] [pic 9] [pic 10]

[pic 11]        [pic 12] [pic 13]

Tema: escolha do tema (assunto) a ser trabalhado. Quanto mais amplo e abrangente, mais possibilidades são apresentadas e maior será a riqueza do trabalho.[pic 14]


Coleta de dados: Pesquisa sobre o assunto escolhido para que a pesquisa possa ser direcionada e defina-se o enfoque a ser dado.

Definição dos problemas: A medida que a pesquisa se desenvolve, aspectos interessantes vão se delineando e despertando a curiosidade em aprofundar a investigação. Nesta etapa definem-se quais problemas serão abordados na formulação dos modelos matemáticos. Esta fase também envolve a abstração da situação que leva à formulação dos modelos, incluindo a seleção de variáveis, a formulação das hipóteses e simplificações necessárias.

Modelos matemáticos: Resultado da substituição da linguagem natural da abstração feita anteriormente por uma linguagem matemática. Ou seja, aqui é feita a “tradução” do problema para uma linguagem matemática;

Resolução: Escolha e emprego de técnicas e procedimentos matemáticos apropriados que possibilitem a resolução do modelo matemático formulado.

Validação: Comparação da solução matemática obtida e sua viabilidade/ significado diante do problema real. Necessidade da interpretação da solução. A não aplicabilidade (rejeição) da mesma leva a modificação do modelo, que significa rever: as hipóteses formuladas, as simplificações feitas, a coerência/veracidade dos dados coletados, os procedimentos matemáticos utilizado, etc. A modificação também pode ser uma etapa no processo de aprimoramento do modelo.

A Modelagem Matemática utiliza a linguagem matemática como ferramenta para analisar/resolver situações reais.

A Programação Linear (PL) é uma das técnicas mais utilizadas na PO. A PL tem por objetivo encontrar a melhor solução para problemas que são traduzidos por relações funcionais lineares, o que se constitui na grande aplicabilidade e simplicidade que a caracterizam. A tarefa da Programação Linear consiste na otimização (maximização ou minimização) de uma função linear, chamada função objetivo, respeitando-se um sistemas de

igualdades ou desigualdades que representam as limitações do problema, recebendo o nome de restrições.

Dois passos são fundamentais para a resolução de um PPL (Problema de Programação Linear): a Modelagem (obtenção do modelo) e a resolução do modelo (obtenção da solução).

Um modelo de PL (assim como qualquer outro modelo de PO) possui três componentes básicos:

  1. Variáveis de decisão
  2. Função Objetivo – estabelece um critério objetivo de escolha das variáveis de decisão, descrito por uma função linear.
  3. Restrições – descreve as relações de interdependência entre as variáveis de decisão, expressas por um conjunto de equações/inequações lineares.

Além disso, a linearidade significa que a PL satisfaz as seguintes propriedades:

  • Proporcionalidade: essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional ao valor da variável.

  • Aditividade: essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis envolvidas na função objetivo e nas restrições seja a soma direta das contribuições individuais de cada variável.
  • Certeza: os coeficientes da função objetivo e das restrições são determinísticos, isto é, são constantes conhecidas.

Um modelo geral de PL pode ser sintetizado por:

[pic 15]

Sujeito às

[pic 16]

  1. – Formulação de modelos de Programação Linear Roteiro:
  1. descrever o objetivo
  2. descrever as limitações / exigências 3) identificar as variáveis

4) traduzir o objetivo e as restrições matematicamente usando as variáveis de decisão.

Comecemos com alguns exemplos:

  1. A tabela abaixo apresenta as quantidades de couro, borracha e cola que são utilizados na fabricação de sapatos e bolsas, a disponibilidade semanal destas matérias-primas e o lucro unitário de cada produto. Como deve ser planejada a produção de sapato e bolsa para que se atinja o maior lucro possível? Uma empresa fabrica 5 produtos: A, B, C, D e E. Cada um deles requer 3 tipos de matérias-primas: M1, M2, M3. As quantidades utilizadas por cada produto, as disponibilidades das matérias primas e o lucro líquido de cada produto são dados na tabela abaixo:[pic 17]

Produtos

Matéria-prima

sapato

bolsa

disponibilidade

Couro

2

1

8

borracha

1

1

3

Cola

1

2

7

Lucro unitário

30

20

  1. Um criador de gado deseja determinar as quantidades de cada ingrediente que devem ser dadas aos animais para se conseguir uma ração bem balanceada e de custo mínimo. Na tabela abaixo são dados os custos de cada ingrediente, a quantidade de cada nutriente em 1 kg de cada ingrediente e os requisitos diários exigidos.

ingredientes

nutrientes

1 kg milho

1 kg alfafa

1        kg

cereais

Mínimo requerido

Carboidratos

90

40

20

200

Vitaminas

10

60

20

150

Proteínas

30

50

80

180

custo

2,5

2,00

2,3

  1. Uma empresa fabrica 5 produtos: A, B, C, D e E. Cada um deles requer 3 matérias-primas: M1, M2 e M3. As quantidades utilizadas por cada produto, as disponibilidades das matérias primas e o lucro líquido unitário de cada produto estão na tabela abaixo:[pic 18]

Produto

matéria-prima

A

B

C

D

E

matéria prima disponível

M1

2

5

3

2

1

100 unidades

M2

3

1

4

7

2

80 unidades

menos 5000 m2. Sabendo-se que o lucro de A é 10000 u.m., de B é 800 u.m. e de C é de 5000 u.m. por m2, formule o PPL de tal forma que o lucro seja o maior possível.

...

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