A Matematica Discreta

T3

1. Em cada item, encontre o menor inteiro positivo x que satisfaz as congruências:

a) x ≡ −5 (mod 7).

7 | x – (-5)

7 | x + 5

7k = x + 5

 x = 7k – 5

 x = 2

b) x ≡ −3 (mod 11).

11 | x – (-3)

11 | x + 3

11k = x + 3

x = 11k -3

x = 8

c) x ≡ −1 (mod 13).

13 | x – (-1)

13 | x + 1

13k = x + 1

x = 13k – 1

x = 12

d) x ≡ 13 (mod 7).

7 | x – 13

7k = x – 13

x = 7k - 13

x = 6

e) x ≡ 27 (mod 6).

6 | x – 27

6k = x – 27

x = (6.4) -27

x = 24 – 27

x = 3

1. a) Encontre o resto de 100 · 103 · 104 na divisão por 7.

100 · 103 · 104 ≡ x (mod 7)

100 mod 7 = 2

103 mod 7 = 5

104 mod 7 = 6

2 · 5 · 6 = 60

60 ≡ m (mod 7)

60 mod 7 = 4

m = 4

R: 100 · 103 · 104 ≡ 4 (mod 7)

b) Encontre o resto de 1002 · 102 na divisão por 9.

1002 · 102 ≡ x (mod 9)

1002 mod 9 = 1

102 mod 9 = 3

1 · 3 = 3

3 ≡ m (mod 9)

3 mod 9 = 3

m = 3

R: 1002 · 102 ≡ 3 (mod 9)

c) Encontre o resto de 373 · 2 na divisão por 3.

37³ · 2 ≡ x (mod 3)

37³ mod 3 = 1

2 mod 3 = 2

1 · 2 = 2

2 ≡ m (mod 3)

2 mod 3 = 2

m = 2

R: 37³ · 2 ≡ 2 (mod 3)

d) Encontre o resto de 98 · 101 na divisão por 11.

98 · 101 ≡ x (mod 11)

98 mod 11 = 10

101 mod 11 = 2

10 · 2 = 20

20 ≡ m (mod 11)

20 mod 11 = 2

m = 2

R: 98 · 101 ≡ 2 (mod 11)

1. Verifique se 17 é congruente a 5 módulo 6, se 24 e 14 são congruentes ao módulo 6, se 14 ≡ 5 (mod 6).

1. 17 ≡ 5 (mod 6).

17 – 5 = 12

R: 12 é múltiplo de 6, a congruência é verdadeira.

1. 24 ≡ 14 (mod 6).

24 – 14 = 10

R: 10 não é múltiplo de 6, a congruência é falsa.

1. 14 ≡ 5 (mod 6).

14 – 5 = 9

R: 9 não é múltiplo de 6, a congruência é falsa.

1. Verifique se o número 17 divide cada um dos números abaixo:

1. 68

68 | 17 = 4

R: 68 divide 17.

1. 84

84 | 17 = 4,9411

R: Não divide

1. 357

357 | 17 = 21

R: 357 divide 21.

1. 1001

1001 | 17 = 58, 88

R: Não divide

1. Qual o quociente e o resto quando:

1. 19 é dividido por 7?

19 | 7 = 2,714

q = 2,714...

r = (2,714 – 2) · 7 = 5

1. -111 é dividido por 11?

-111 | 11 = -10,090909090909090909090909090909

q = -10,090909090909090909090909090909

r = (-10,090909090909090909090909090909 + 11) · 11 = 10

1. 1001 é dividido por 13?

1001 | 13 = 77

q = 77

r = 0

1. 3 é dividido por 5?

3 | 5 = 0,6

               q = 0,6

               r = 0,6 · 5 = 3

1. -1 é dividido por 3?

-1 | 3 = -0,33333333333333333333333333333333

 q = -0,33333333333333333333333333333333

 r = -0,33333333333333333333333333333333 · 3 = 2

f) 1234567 é dividido por 1001?

      1234567 | 1001 = 1.233,3336663336663336663336663337

        q = 1.233,3336663336663336663336663337

        r = (1.233,3336663336663336663336663337 – 1233) · 1001 = 334

6. Liste cinco números inteiros que são congruentes a 4 módulo 12.

                x = 4 (mod 12)

        12k = x – 4   N)[pic 1]

        12  1 = 16 – 4[pic 2]

        12 = 12