Exercícios Resolvidos de Lógica: Árvore, simbolização e sequência de equivalências

Exercícios de Lógica

1. Escolha uma das conclusões:

(a) Se Ana é professora, então Bia não é.

(b) Se Ana não é professora, então Célia é.

(c) Se Bia é professora, então Célia não é.

para formar um argumento válido com as seguintes premissas:

Dentre Ana, Bia e Célia, alguma é professora.

Se Ana é professora mas Bia não é, então Célia também é.

Bia e Célia são ambas professoras, ou nenhuma das duas é.

Se Bia é professora, então Ana também é.

Justifique sua resposta usando o método das árvores de refutação ou uma apresentando uma demonstração da conclusão escolhida a partir das premissas.

resolução

Legenda:

a : Ana é professora.

b : Bia é professora.

c : C´elia ´e professora.

Simboliza¸c˜ao das premissas (na ordem em que s˜ao dadas):

a ∨ (b ∨ c)

a ∧ (¬b) → c

(b ∧ c) ∨ (¬b ∧ ¬c)

b → a

Simboliza¸c˜ao da conclus˜ao (b):

(¬a) → c

Demonstra¸c˜ao indireta da conclus˜ao (b) a partir das premissas:

premissa 1 a ∨ (b ∨ c)

premissa 2 a ∧ (¬b) → c

premissa 3 (b ∧ c) ∨ (¬b ∧ ¬c)

premissa 4 b → a

hip´otese 5 ¬a

4,5 6 ¬b

1,5 7 b ∨ c

6,7 8 c

Com as premissas dadas e a conclus˜ao (b) temos um argumento v´alido.

2. (2,5) Em uma quest˜ao de uma lista de L´ogica pede-se a simboliza¸c˜ao da senten¸ca: ϕ : Dentre Ana, Bia e C´elia, no m´aximo uma ´e professora.

Dentre as solu¸c˜oes propostas pelos alunos, tivemos as seguintes simboliza¸c˜oes, todas baseadas na mesma legenda:

ϕ1 : (a ∨ b ∨ c) ∧ (¬a ∨ ¬b ∨ ¬c)

ϕ2 : (a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (b ∧ ¬a ∧ ¬c) ∨ (c ∧ ¬a ∧ ¬b)

ϕ3 : (a → (¬b ∧ ¬c)) ∧ (b → (¬a ∧ ¬c)) ∧ (c → (¬a ∧ ¬b))

Sobre estas simboliza¸c˜oes, uma colega fez os seguintes coment´arios: ϕ1 contempla casos demais, ϕ2 n˜ao contempla todos os casos e ϕ3 ´e uma boa simboliza¸c˜ao.

(a) Proponha uma legenda e senten¸cas da l´ıngua portuguesa que poderiam ser simbolizadas como ϕ1, ϕ2 e ϕ3.

(b) Determine se o que a colega afirmou est´a correto, ou n˜ao.

resoluc¸ao˜

(a) Usando a legenda:

a : Ana ´e professora.

b : Bia ´e professora.

c : C´elia ´e professora.

as f´ormulas dadas podem ser consideradas como uma simboliza¸c˜ao das senten¸cas a seguir: ϕ1 : Dentre Ana, Bia e C´elia, ao menos uma ´e professora e ao menos uma n˜ao ´e. ϕ2 : Dentre Ana, Bia e C´elia, uma ´e professora e as outras duas n˜ao s˜ao.

ϕ3 : Dentre Ana, Bia e C´elia, no m´aximo uma ´e professora.

2

(b) Considere a tabela:

a b c ¬a ¬b ¬c α1 β1 α2 β2 γ2 α3 β3 γ3 ϕ1 ϕ2 ϕ3 

V V V F F F V F F F F F F F F F F

V V F F F V V V F F F F F V V F F

V F V F V F V V F F F F V F V F F

V F F F V V V V V F F V V V V V V

F V V V F F V V F F F V F F V F F

F V F V F V V V F V F V V V V V V

F F V V V F V V F F V V V V V V V

F F F V V V F V F F F V V V F F V

onde:α1 : a ∨ (b ∨ c)

β1 : ¬a ∨ (¬b ∨ ¬c)

α2 : a ∧ (¬b ∧ ¬c)

β2 : b ∧ (¬a ∧ ¬c)

γ2 : c ∧ (¬b ∧ ¬a)

α3 : a → (¬b ∧ ¬c)

β3 : b → (¬a ∧ ¬c)

γ3 : c → (¬b ∧ ¬a)

ϕ1 : α1 ∧ β1 

ϕ2 : α2 ∨ β2 ∨ γ2 

ϕ3 : α3 ∧ β3 ∧ γ3 

Observando a primeira, a segunda, a terceira e a quinta linhas da tabela, vemos que ϕ1 tem valor V em interpreta¸c˜oes que associam valor V para mais de uma vari´avel (ou seja, podemos ter mais de uma professora dentre Ana, Bia e C´elia e, ainda assim, a senten¸ca simbolizada por ϕ1 ser verdadeira). Logo, a colega est´a correta quando afirma que a f´ormula ϕ1 contempla casos demais.

Observando a ´ultima linha da tabela, vemos que ϕ2 tem valor V em uma interpreta¸c˜oes que associam valor F para todas as vari´aveis (ou seja, no caso de n˜ao termos nenhuma professora dentre Ana, Bia e C´elia, a senten¸ca simbolizada por ϕ2 seria falsa). Logo, a colega est´a correta quando afirma que a f´ormula ϕ2 n˜ao contempla todos os casos.