Aplicações das derivadas no estudo das funções

ETAPA 3 - Aplicações das derivadas no estudo das funções.

Passo 1 - Pesquisar sobre os conceitos de “Função do 2º Grau; Aplicações das Derivadas nas Áreas Econômicas e Administrativa”.

FUNCÃO DO 2° GRAU

Existem situações práticas que podem ser representadas pelas funções do segundo grau. Uma dessas situações ocorre quando queremos descobrir a receita da venda de um produto, usamos função receita e consideramos o preço e a quantidade comercializada de um produto.

Já sabemos que a receita R é dada pela relação:

R = p x q

Onde p representa o preço unitário e q à quantidade comercializada do produto.

Por exemplo, se o preço das bolsas de uma marca variar de acordo com a relação:

p = -24 + 200*

Podemos estabelecer a receita para a venda de bolsas pela expressão:

R = (-2q + 20Q)q

R = -2q² + 200q

Vamos traçar um gráfico a partir de uma tabela com algumas quantidades de bolsas vendidas e receitas correspondentes para que possamos ter uma melhor visualização dessa situação:

Qntd (q)	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Receita (R)	0	1800	3200	4200	4800	5000	4800	4200	3200	1800	0

[pic 1]

A curva que aparece no gráfico é chamada de parábola. Observamos também na parábola que a concavidade está virada para baixo, porque o coeficiente do termo -2q² é negativo. O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0:

R = -2 . 0² + 200 . 0

R = 0

Os pontos em que a curva corta o eixo q, são obtidos fazendo R = 0:

R = -2q² + 200q = 0

q = 0 ou q = 100

O vértice V = (qv; Rv) corresponde a (50; 5.000) da parábola em que qv = 50 é a média aritmética das raízes e Rv = 5.000 é a receita correspondente:

qv = 0 + 100 = 50[pic 2]

2

Substituindo na função R, obtemos:

Rv = -2 . 502 + 200 . 50 = 5000

Nessa função do 2º grau, o vértice é importante, porque nos dá a quantidade qv = 50 que é o que deve ser comercializada para que a receita seja Rv = 5000. Mesmo que tenhamos obtido a coordenada qv pela média aritmética das raízes da função, conseguimos encontrar a coordenada de maneira diferente, porque as raízes da função são números reais, e nem sempre é assim.

Podemos lembrar que a coordenada qv determina o eixo de simetria da parábola. Quantidades superiores a qv = 50 irão proporcionar receitas menores que Rv = 5000, porque a receita está associada à função do preço, p = -2q + 200, que decresce à medida que a demanda q aumenta. O gráfico foi traçado a partir de uma tabela que já tinha os principais pontos da parábola. Por isso, a seguir alguns passos que vão permitir a determinação de tais pontos.

Considerando ainda a receita R = -2q² + 200q na venda de q bolsas e supondo que o custo C na sua fabricação seja dado por:

C = 40q + 1400

Então o lucro L na comercialização das bolsas será dado por:

L = R - C

L = -2q² + 200q - (40q + 1400)

L = -2q² + 160q - 1400

Imaginando que as quantidades produzidas e vendidas são as mesmas. Para obter o gráfico, notamos que a concavidade está virada para baixo, porque o coeficiente do termo -2q² é negativo.

O ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo q = 0:

L = -2 . 0² + 160 . 0 - 1400

L = -1400

Os pontos em que a curva corta o eixo q são obtidos fazendo L = 0:

L = -2q² + 160q - 1400 = 0

q = 10 ou q = 70

O vértice V = (qv; Lv) da parábola em que qv = - coeficiente de q / 2 x coeficiente de q² e Lv é o lucro correspondente:

qv =  -160  = 40[pic 3]

2 . (-2)

Substituindo na função L, obtemos:

Lv = -2 . 402 + 160 . 40 - 1400 = 1800

Assim, o vértice é dado pelo ponto V = (40; 1800). Com tais pontos, podemos esboçar o gráfico do lucro:

[pic 4]

O gráfico mostra que o lucro é positivo quando se vendem entre 10 e 70 bolsas L > 0, se 10 < q < 70. O lucro é nulo quando se vendem 10 ou 70 bolsas L = 0, se q = 10 ou q = 70. O lucro é negativo quando se vendem entre 0 e 10 bolsas ou quando vender quantidades superiores a 70 bolsas L < 0, se 0 < q < 10 ou q > 70. Notamos que o vértice e o eixo de simetria nos mostra que a quantidade de 40 pares de bolsas proporciona lucro máximo de 1800 e que o lucro é crescente para quantidades inferiores a 40 e decrescente para quantidades superiores a 40.