Funções Marginais

Funções Marginais

A função marginal de uma função f (x) é a derivada da função f (x), ou seja, f′ (x). 

Assim, tem-se que: 
a função custo marginal é a derivada da função custo, 
a função receita marginal é a derivada da função receita, 
a função lucro marginal é a derivada da função lucro.

Função Custo Marginal 

A função  custo marginal  é  a variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida. 

Cmg (x) = C (x + 1) –  C (x) ≅ C′ (x). 

Exemplo: 
O custo,  em reais,  de fabricação de  "x"  unidades de um produto é  C(x)  =  x2  +  5 x  +  10. 
Atualmente o nível de produção é de 20 unidades. 
Calcule, aproximadamente, de quanto varia o custo se forem produzidas 21 unidades. 

C(20)  =  202  +  5  ⋅  20  +  10 
C(20)  =  400  +  100  +  10 
C(20)  =  510 

C(21)  =  212  +  5  ⋅  21  +  10 
C(21)  =  441  +  105  +  10 
C(21)  =  556 

Cmg(x)  =  C(21)  –  C(20) 
Cmg(x)  =  556  –  510  =  46 

É mais prático calcular a derivada,  do qual se obtém um valor aproximado: 
C(x)  =  x2  +  5 x  +  10 
C′(x)  =  2 x  +  5 

C′(20)  =  2  ⋅  20  +  5 
C′(20)  =  40  +  5 
C′(20)  =  45 

Portanto,  o custo marginal para a produção de  20  unidades é de aproximadamente  R$ 45,00.

Função Receita Marginal 

A função  receita marginal  é  a variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade vendida. 

Rmg(x)  ≅  R′(x) 

Exemplo: 
Seja  R(x)  =  x2  +  200 x  +  20  a receita total da venda de  "x"  unidades de um produto. 
Calcule a receita marginal para x = 20. 

R′(x)  =  2 x  +  200 
R′(20)  =  2  ⋅  20  +  200 
R′(20)  =  240 

Portanto,  a receita marginal para a produção de  20  unidades é de aproximadamente  R$ 240,00.

EXEMPLO 28:

Uma empresa estima que o custo (em reais) na produção de [pic 1] unidades de um produto, seja dada por, [pic 2].

Determine a função custo marginal e calcule [pic 3].

Função custo marginal:

C (x) = 0,001x³  -   1,125 x²  +  330x + 10000 
C′(x)  =  3 . 0,001x2 -  2 . 1,125 x + 330 

C′(x)  =  0,003x2  -  2,25 x  +  330

Calculo [pic 4]:

C′(x)  =  0,003x2  -  2,25 x  +  330

C′(150)  =  0,003 . (150)2  -  2,25 .(150)  +  330

C′(150)  =  0,003 . 22500  -  337,5  +  330

C′(150)  =  67,5  -  337,5  +  330

C′(150)  =  60

EXEMPLO 29:

Se [pic 5], indica o lucro quando são vendidas [pic 6] unidades. Encontre a função lucro marginal [pic 7] e calcule [pic 8].