Funções do ensino médio

Fun¸co˜es do segundo grau

17 de fevereiro de 2012

Fun¸c˜ao do 2o grau

f (x ) = ax 2 + bx + c com a, b e c constantes com a ƒ= 0

dom(f ) = R e G(f ) ´e uma par´abola com as seguintes caracter´ısticas:

) concavidade:

( para cima, se a > 0 (∪)

( para baixo, se a < 0 (∩)

) ra´ızes ou zeros (s˜ao as soluc¸˜oes da equa¸c˜ao ax 2 + bx + c = 0, s˜ao os interceptos com o eixo x ):

Discriminante: ∆ = b2 − 4ac

√

Se ∆ ≥ 0, ent˜ao as ra´ızes s˜ao dadas por x = −b ± ∆

2a

Se ∆ < 0, n˜ao h´a ra´ızes (reais)

b −∆

) V´ertice: V = (xV , yV ), com xV = −

2a

e yV = 4a

Note que yv = f (xv )

) Intercepto com o eixo y : (fa¸ca x = 0 na fun¸c˜ao) f (0) = c

) Eixo de simetria: ´e a reta vertical x = xV

f (x ) = x 2 − 2x − 3

∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 16

ra´ızes: x = −b ±

√

∆ = 2 ± 4 = 3

2a 2 −1

 b 2

xv = − = = 1



v´ertice:



2a 2

∆ −16

y = − =

4a 4

= −4

dom(f ) = R

intercepto eixo y : f (0) = −3

eixo de simetria: reta x = 1

im(f ) = [−4, +∞[

f (x ) = −x 2 + 6x − 9

∆ = b2 − 4ac = (6)2 − 4(−1) − 9) = 0

√

ra´ızes: x = −b ±

2a

∆ = −6 ± 0 =

−2

 b −6

xv = − = = 3



v´ertice:



2a −2

∆ 0

y = −

4a

= = 0

4

intercepto eixo y : f (0) = −9 eixo de simetria: reta x = 3 outro ponto:

dom(f ) = R e im(f ) = ]−∞, 0]

f (x ) = x 2 − 4x + 6

∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(1)(6) = −8 ra´ızes: n˜ao h´a ra´ızes (reais) porque ∆ < 0

xv = −

= 4 = 2



v´ertice:



2a 2

∆ 8

y = −

4a

= = 2

4

intercepto eixo y : f (0) = 6

eixo de simetria: reta x = 2 outro ponto:

dom(f ) = R

im(f ) = [2, +∞[