Resumo Modelo Solow

               Teoria Macroeconômica IV

        Modelo Solow simples

      Aluno: Leonardo Ribeiro Pinheiro

O modelo Solow de crescimento econômico propõe explicar  alguns dos fatos consagrados a respeito do porquê alguns países crescem a taxas diferentes, como se dá esse crescimento ao longo do tempo e qual a taxa de crescimento.

As principais hipóteses são que as economias produzem apenas um tipo de produto homogêneo, por isso não há comércio externo, entende-se por produto homogêneo o PIB da economia para questões práticas, as empresas operam em concorrência perfeita, com livre entrada e saída do mercado e são todas tomadoras de preço. Nesse primeiro momento o progresso tecnológico é exógeno ao modelo.

A função de produção (Y) é expressa pela equação em função do capital (K), e da mão de obra (L)[pic 1]sendo esta uma função Cobb-Douglas com retornos crescentes de escala.

Para uma firma representativa os lucros se definem por [pic 2]onde  r = custo de aluguel do capital  e w= custo de mão de obra, ou seja, salários.

Sendo assim, dando as condições de primeira ordem as empresas iram contratar fatores de produção até que seus retornos sejam aos custos marginais,  derivando a função que expressa o lucro da firma temos.[pic 3]E ; [pic 4]

Sendo [pic 5], isto é consistente com o fato de as firmas auferirem lucro econômico zero, e serem tomadoras de preço no mercado

por se tratar de uma função do tipo Cobb-Douglas  as parcelas da remuneração de K e L permanecem constantes para quaisquer valores de K e L

 como o modelo se propõe a explicar o crescimento  em valores per capita, utiliza-se as varáveis y=Y/L  e k= K/L para os valores de produto e capital per capita. Sendo o produto per capita y dado por

[pic 6]

abaixo o gráfico da função de produção por pessoa  [pic 7]

[pic 8]

Com mais capital por trabalhador, as empresas geram mais produto por trabalhador. Contudo, há retornos decrescentes ao capital por trabalhador; a cada unidade adicional de capital que damos a um trabalhador, o produto gerado por esse trabalhador cresce menos e menos. Isso ocorre pelo fato de  0< α <1  

A segunda equação fundamental do modelo é a que explica a acumulação de capital ao longo do tempo.

[pic 9] Sendo [pic 10]a variação de capital ao longo do tempo, em outras palavras a derivada de K em relação a t.

 

sY é o investimento bruto, numa economia fechada, têm-se que S=I, portanto s é taxa de poupança da economia, tendo 0<s<1.

δK  é a depreciação do capital, seja por desgaste ou fim da vida útil uma parcela do capital é gasta ao longo do tempo, δ é a taxa na qual isso ocorro, sendo 0<δ<1

trabalhando na taxa de acumulação de capital, têm-se

[pic 11]

para acharmos como ocorre a variação do capital por trabalhador, será utilizado um artifício matemático de transformação logarítmica e derivação.

[pic 12];transformando em log [pic 13]; derivando em relação a t  [pic 14]  ;

têm-se [pic 15] e;

aplicando  log e derivando em relação a t  [pic 16] ,  [pic 17], derivando em relação a t :  [pic 18].

Uma hipótese adicional do modelo é que a força de trabalho cresce na mesma proporção da taxa de crescimento populacional e a mesma e tida como constante, de valor definido n . ou seja [pic 19] pois  o crescimento da força de trabalho (t)pode ser descrito pela equação [pic 20], aplicando ln e derivando tem-se [pic 21], derivando no tempo chega na expressão [pic 22].

por definição k= K/L , derivando Ln da equação em relação a t, têm-se [pic 23]

se [pic 24] e [pic 25] =>  [pic 26]  multiplicando [pic 27]  a expressão se torna [pic 28] tal que [pic 29] e [pic 30]

fazendo as substituições dos termos  => [pic 31] multiplicando a equação por k para eliminar o denominador  => [pic 32]

esta equação diz que o crescimento econômico depende de três fatores, o investimento por trabalhador sy, impacta positivamente a acumulação de k, ao passo que a taxa de depreciação dK e o surgimento de novos trabalhadores nk puxam o crescimento para baixo, portanto é necessário que haja investimento para compensar tais perdas