A Analise Combinatoria
Por: Ericson Santiago • 23/3/2017 • Exam • 2.671 Palavras (11 Páginas) • 414 Visualizações
Análise Combinatória
A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
O objetivo principal da Análise Combinatória é a determinação do número de possibilidades, de um dado evento ocorrer sem, a necessidade, descrever todas as possibilidades.
Principio Fundamental da Contagem
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.
Exemplo:
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
* para cada experimento aleatório, define-se espaço amostral o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.
[pic 1]
Onde: C = cara
K = coroa
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
O esquema desenvolvido no exemplo é chamado árvore das possibilidades e facilita a visualização da resolução dos problemas de contagem.
Exercícios
1- Em um hospital existem três portas de entrada que dão para a recepção, no qual existem 5 elevadores. Um paciente deve se dirigir ao 3° andar, utilizando de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazer?
a) 5
b) 8
c) 11
d) 14
e) 15
2-Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos 2,3,5,7 e 8?
a) 50
b) 52
c) 60
d) 70
e) 80
3- Na cidade de Belgrado os números de telefone tem 7 algarismos e não podem começar por zero. Os três primeiros são os prefixos, sabendo que em todos os hotéis os quatro últimos dígitos são 1111 e o prefixo não tem números repetidos, o número de telefones que pode ser instalados nos hotéis são:
a)648
b)720
c)729
d)900 e)650
4- Numa eleição de uma instituição há três candidatos a presidente, cinco a vice, seis a secretário e sete tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
a) 63
b) 163
c) 630
d) 6300
e) 1630
5- Quantos números impares de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7 ?
a) 400
b) 480
c) 625
d) 700
e) n.d.a
Fatorial de um número.
O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! .
Exemplo de número fatorial:
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . ... . 3 . 2 . 1
- n 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.[pic 2]
- O fatorial de 0 ( 0! ) é 1.
Assim
0! = 1
1! = 1
2! = 2 . 1 = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Podemos também desenvolver um fatorial colocando seus fatores em ordem decrescente até chegarmos a um fator conveniente, exemplos:
[pic 3]
Vamos colocar o 17! Em função de 15!
= = 17 . 16 = 272[pic 6][pic 7][pic 4][pic 5]
A divisão de fatoriais acontece bastante em análise combinatória. Observe:
Vamos colocar o n! Em função de (n-1)!
= = n[pic 10][pic 11][pic 8][pic 9]
Cuidado
As seguintes operações NÃO são válidas:
[pic 12]
Exercícios
1- Simplifique efetue.
a) = [pic 13]
b) = [pic 14]
c) = [pic 15]
d) =[pic 16]
e) = [pic 17]
f) [pic 18]
2- (UFRN) Se (x+1)! = 3(x!), então x é igual a:
a) 1
b) 4
c) 2
d) 3
e) 5
3- Identifique com v para as alternativas verdadeiras e F para as falsas.
- 10! = 8! + 2! ( )
- 0! = 0 ( )
- 1 = 0! ( )
- 10! = 2! . 5! ( )
- 8! = 6! + 2! ( )
- 7! = (9-2)! ( )
- 12! = 12.11. 10! ( )
- 6! = 4!.5. 6! ( )
Arranjo Simples
Arranjos Simples são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
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