A Analise Combinatoria

Análise Combinatória

A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.

O objetivo principal da Análise Combinatória é a determinação do número de possibilidades, de um dado evento ocorrer sem, a necessidade, descrever todas as possibilidades.

Principio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Exemplo:

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

* para cada experimento aleatório, define-se espaço amostral  o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.

[pic 1]

Onde: C = cara

        K = coroa

           Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

O esquema desenvolvido no exemplo é chamado árvore das possibilidades e facilita a visualização da resolução dos problemas de contagem.

Exercícios

1- Em um hospital existem três portas de entrada que dão para a recepção, no qual existem 5 elevadores. Um paciente deve se dirigir ao 3° andar, utilizando de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazer?

a) 5

b) 8

c) 11

d) 14

e) 15

2-Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos 2,3,5,7 e 8?

a) 50

b) 52

c) 60

d) 70

e) 80

3- Na cidade de Belgrado os números de telefone tem 7 algarismos e não podem começar por zero. Os três primeiros são os prefixos, sabendo que em todos os hotéis os quatro últimos dígitos são 1111 e o prefixo não tem números repetidos, o número de telefones que pode ser instalados nos hotéis são:

a)648

b)720

c)729

d)900             e)650

4- Numa eleição de uma instituição há três candidatos a presidente, cinco a vice, seis a secretário e sete tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?

a) 63

b) 163

c) 630

d) 6300

e) 1630

5- Quantos números impares de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7 ?

a) 400

b) 480

c) 625

d) 700

e) n.d.a

Fatorial de um número.

O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! .

Exemplo de número fatorial:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) .  ...  . 3 . 2 . 1

• n 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.[pic 2]
• O fatorial de 0 ( 0! ) é 1.

Assim

0! = 1

1! = 1

2! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

5! 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Podemos também desenvolver um fatorial colocando seus fatores em ordem decrescente até chegarmos a um fator conveniente, exemplos:

[pic 3]

Vamos colocar o 17! Em função de 15!

 =   =  17 . 16 = 272[pic 6][pic 7][pic 4][pic 5]

A divisão de fatoriais acontece bastante em análise combinatória. Observe:

Vamos colocar o n! Em função de (n-1)!

 =  =  n[pic 10][pic 11][pic 8][pic 9]

Cuidado

As seguintes operações NÃO são válidas:

[pic 12]

Exercícios

1- Simplifique efetue.

a)  = [pic 13]

b)   = [pic 14]

c)  = [pic 15]

d) =[pic 16]

e)  = [pic 17]

f) [pic 18]

 2- (UFRN) Se (x+1)! = 3(x!), então x é igual a:

a)  1  

 b) 4    

c) 2    

d) 3

e) 5

3-    Identifique com v para as alternativas verdadeiras e F para as falsas.

1.     10!  = 8!  + 2!           (        )      

 

1.      0! = 0                       (        )

1.      1 = 0!                       (        )    

               

1.       10! = 2! . 5!            (        )

1.       8! = 6! + 2!             (        )

1.         7!  = (9-2)!           (        )

1.       12!  =  12.11. 10!   (        )      

 

1.        6! = 4!.5. 6!           (        )

Arranjo Simples

Arranjos Simples são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.