ALGUNS EXEMPLOS DA TEORIA ESPECTRAL SOME EXAMPLES OF SPECTRAL THEORY

ALGUNS EXEMPLOS DA TEORIA ESPECTRAL

SOME EXAMPLES OF SPECTRAL THEORY

Eisten Daniel Neto Bomba, licenciado em Matemática (autor)

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Yuriy Nepomnyashchick, PhD em matemática (supervisor)

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Resumo

Estuda-se os espectros de alguns operadores lineares nos espaços de Banach [pic 1]e faz-se a classificação dos pontos dos espectros. Obtêm-se alguns resultados interessantes. Por exemplo,o operador de multiplicação definido por [pic 2] onde [pic 3]é um número natural, actuando em cada um dos espaços[pic 4] e [pic 5]tem o mesmo espectro, mas com tipos de pontos do espectro diferentes. Por outro lado, o operador diferencial definido por ,actuando em espaços diferentes tem espectros distintos.[pic 6]

Abstract

We study the spectrums of some linear operators in Banach spaces  and makes the classification of the points of the spectra. We obtain some interesting results. For example, the multiplication operator defined by where is a natural number, acting on each of the spaces  has the same spectrum, but with points of the different types of spectrum. On the other hand, the differential operator defined by , acting on different spaces have different spectrum.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Palavras-chave

Espectro, operador de multiplicação, operador diferencial, operador de Volterra.

Keywords

Spectrum, multiplication operator, differential operator, operator Volterra.

1 Introdução

A teoria espectral é uma área de análise funcional moderna e suas aplicações. Muitos problemas de modelação matemática e da teoria de equações diferenciais funcionais podem ser escritos nos termos de operadores lineares. Então, a investigação das propriedades espectrais de taisoperadores é tema actual e de muita importância.

Neste artigo, começaremos, inicialmente, por apresentar alguns elementos básicos da teoria espectral que são tratados com mais detalhes nas obras[1], [2], [4], [6]. Depois de fazer um estudo sobre a teoria espectral geral e as propriedades espectrais dos operadores lineares compactos, surgem as seguintes questões:

1. É possível que um operador linear, actuando espaços diferentes, tenha o mesmo espectro mas com tipos de pontos diferentes?

1. É possível que um operador linear, actuando em espaços diferentes, tenha espectros diferentes?

1. Todo operador linear limitado num espaço de Banach complexo tem espectro não vazio (veja [6],Teorema 7.5-3, pág. 390). Será que esta propriedade é valida para operadores lineares não limitados?

1. Em espaços de dimensão infinita, todo ponto não nulo pertencente ao espectro de um operador linear compacto é um ponto do espectro pontual, e zero é sempre um ponto do espectro(veja, por exemplo, [1], Teorema 4.1.1, pág.54). Então, quais são as possíveis classificações para o ponto zero?

Durante a nossa investigação sobre as propriedades espectrais dos operadores lineares limitados (obra [1]), tivemos respostas positivas em relação as quatro questões levantadas, isto foi possível, após um estudo profundo sobre os espectros de alguns operadores lineares nos espaços funcionais e no espaço das sucessões de quadrados somáveis. Portanto, o nosso objectivo principal é apresentar estas respostas, pois são resultados fundamentais na teoria espectral. Além disso, apresentaremos mais um novo resultado sobre o espectro do operador diferencial e uma demonstração parcial da proposição 4.2.1 da obra [1] pág. 65, que nos mostra também um resultado interessante sobre o espectro do operador de Volterra nos espaços  e .[pic 12][pic 13]

2 Metodologia

De modo a alcançar os objectivos deste trabalho fez-se o uso dos elementos de Análise matemática e Análise funcional, mais exactamente: Teoria de medida e integral de Lebesgue, Teoria dos operadores lineares e Teoria espectral.

3 Conceitos básicos da teoria espectral

Sejam  um espaço de Banach complexo e [pic 15]um operador linear com domínio[pic 16]. Vamos associar o operador  ao operador , onde  é um parâmetro complexo e  é o operador identidade em . Se  tem inverso, denotamos por , isto é, e denomina-se a resolvente do operador .[pic 14][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Definição 1. O número complexo  tal que, a resolvente existe, é limitada e está definida num conjunto denso em , denomina-se valor regular do operador .[pic 26][pic 27][pic 28]

Definição 2. O conjunto de todos valores regulares do operador  denomina-se conjunto resolvente de  e é denotado por .[pic 29][pic 30][pic 31]

Definição 3. O espectro do operador  é definido como o complemento do conjunto resolvente, e é denotado por .[pic 32][pic 33]

O espectro de um operador decompõe-se em três conjuntos disjuntos: espectro pontual, espectro contínuo e espectro residual.

Definição 4. O espectro pontual, denotado por (T),é o conjunto dos valores  tal que a resolvente não existe. Se (T), então  é chamado autovalor do operador [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Definição 5. O espectro contínuo, denotado por, é o conjunto dos valores  tal que a resolvente existe, está definida num conjunto denso em , mas não é limitada.[pic 39][pic 40][pic 41]

Definição 6. O espectro residual, denotado por ,é o conjunto dos valores  tal que a resolvente existe, mas está definida num conjunto não denso em . Neste caso, a resolvente pode ou não ser limitada.[pic 42][pic 43][pic 44]