Limites de Funções e Derivada

Limites de Funções e Derivadas

Definição de limites de funções e derivada

Limites de Funções

O conceito de limite é a base fundamental do cálculo. Quando dizemos que o limite de uma função f(x) quando x se aproxima de um valor 'c' é igual a 'L', estamos expressando que, à medida que x fica arbitrariamente próximo de 'c', os valores de f(x) se aproximam de 'L' (Stewart, 2015).

Derivada

A derivada de uma função f(x) em relação a x, representada como f'(x) ou dy/dx, é definida como o limite do quociente diferencial Δy/Δx quando Δx se aproxima de zero. Em outras palavras, a derivada mede a taxa instantânea de variação da função em um ponto específico (Spivak, 2008).

Tipos de limites de funções (laterais) e derivada (laterais)

Limites Laterais

Os limites laterais abordam o comportamento da função quando x se aproxima de “a” pela esquerda (x → a-) e pela direita (x → a+). Anton, Bivens e Davis (2010) explicam que “o limite à esquerda de 'f(x)' quando 'x' se aproxima de 'a' é denotado por lim[f(x), x → a-], e o limite à direita é denotado por lim[f(x), x → a+].”

Derivadas Laterais

As derivadas laterais, também conhecidas como derivadas unilateralmente, são uma extensão do conceito de derivada. Elas representam a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto a partir de um único lado (à direita ou à esquerda). Segundo Bivens, Davis e Anton (2002), as derivadas laterais são especialmente úteis quando se lida com funções que possuem descontinuidades ou comportamentos peculiares.

Exemplos de limites de funções e derivada

Exemplo 1: Limite de uma Função

Suponha que tenhamos a seguinte função:

f(x)=(x^2-1)/(x-1)

Para encontrar o limite da função f(x) quando x se aproxima de 1, podemos aplicar a regra de L'Hôpital ou fatoração. Usando a fatoração, obtemos:

f(x)=((x-1)(x+1))/(x-1)

Cancelando o factor comum x-1, obtemos:

f(x)=x+1

O limite de f(x) quando x se aproxima de 1 é, portanto, 2. Isso pode ser demonstrado usando o Teorema Fundamental do Limite.

Exemplo 2: Derivada de uma Função

Considere a função g(x)=〖3x〗^2-2x+1. Para encontrar a derivada de g(x), podemos aplicar a regra de potência, que nos diz que a derivada de x^n é nx^(n-1). Portanto, a derivada de g(x) é:

g^'(x) =d/dx (〖3x〗^2 )-d/dx (2x)+d/dx 1=6x-2

A derivada de g(x) é 6x-2, que representa a taxa de variação instantânea da função g(x) em relação a x.