Trabalho de matematica sobre as conicas

   As cônicas

Conjuntos de pontos definidos em um gráfico podem ser analisados de acordo com suas características simétricas, como por exemplo, aquelas que definem uma equivalência de valores, ou uma correspondência dos mesmos em relação a pontos específicos no gráfico. Certos pontos que podem ser considerados como referência de valores simétricos em relação aos pontos de uma curva são, geralmente, referenciados como os focos. De forma geral os focos de um sistema podem ser conseguidos quando o conjunto de pontos analisado assume contornos de estruturas cônicas cortadas por planos inclinados.

O efeito do secionamento de cones por planos geram estas estruturas que são chamadas de cônicas, ou seções cônicas, como muitas vezes são referenciadas em alguns textos de geometria.

Muitas vezes devemos adicionar um eixo de referência para que as características de simetria sejam observadas. Esta reta chamamos de diretriz.

Parábola

[pic 1]

A parábola é a cônica mais simples, ela representa o conjunto de pontos em torno de um único foco, o qual estabelece uma relação de simetria com uma diretriz. A parábola é resultante de uma equação puramente quadrática. Resta-nos saber quais as relações desta equação com a definição de foco e diretriz.

Observemos o gráfico a seguir:

[pic 2] Parábola, foco e diretriz

Relacionando os pontos da parábola a seu foco e sua diretriz. Observemos o ponto [pic 3] e a reta [pic 4], diz-se que os mesmos são ofoco e a diretriz da parábola quando se estabelece a relação [pic 5].

Logo abaixo do foco, o ponto [pic 6] é conhecido como vértice, que se estabelece como o ponto mínimo absoluto no gráfico da parábola.

A distância entre o foco e o vértice é a mesma do vértice para a diretriz, os pontos na parábola mantém a mesma distância do foco e da diretriz.

A simetria nos sugere que podemos encontrar uma relação simples para uma parábola cujo vértice está no ponto [pic 7] e que possui foco no ponto [pic 8]. Fazendo a relação de simetria temos:

[pic 9];

[pic 10];

[pic 11].

O que nos permite fazer:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

E eis nossa equação quadrática para esta parábola primária estabelecida nos eixos.

Esta relação é meramente funcional para o foco no eixo das ordenadas, se quisermos fazer uma equivalência de variáveis e estabelece-la para as abscissas teremos:

[pic 19]

Generalizando para o plano cartesiano [pic 20], temos a equação acima como um conjunto particular da equação mais geral, onde podemos observar [pic 21] e [pic 22] como a distância entre foco e vértice, considerando-o como parâmetro independente da posição, neste caso podemos escrever:

[pic 23]

ou,

[pic 24]

Para cada um dos casos acima, identificando [pic 25] como distância foco-vértice. Esta denominação nos faz pensar em uma equação independente de posição. Tomando como base o vértice, podemos dizer que, se o mesmo tem coordenada [pic 26] temos:

[pic 27]

ou,

[pic 28]

Exemplo 1 - Parâmetros da parábola

Encontrar os parâmetros da parábola:

[pic 29].

Façamos a adaptação da equação para o formato que nos permita analisar os valores:

[pic 30].

[pic 31].

[pic 32]

Como podemos verificar o vértice da parábola está no ponto [pic 33]. Uma vez que a equação representa uma função onde a variável das abscissas tem grau 2, o foco e o vértice da parábola estão no mesmo valor de [pic 34] e como o parâmetro [pic 35], temos o valor do foco:

[pic 36]

E a diretriz é:

[pic 37]

Exemplo 2 - Equação da parábola]

Encontrar a equação da parábola cujo vértice está na coordenada [pic 38] e está distante da sua diretriz [pic 39] unidades, sabendo que a concavidade da mesma está voltada para cima.

Como a concavidade da parábola está voltada para cima, temos o foco e o vértice para o mesmo valor de [pic 40] que tem grau 2:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

A equação é:

[pic 44]

Elipse

[pic 45]