Algebra

MATRIZES E DETERMINANTES - GABARITO

1) Dadas as matrizes A e B, determine a matriz X de 2a ordem que é solução da equação matricial A.X + B = 0, onde 0 representa a matriz nula de ordem 2.

Solução.

Seja  A.X + B = 0  

 . Então:

. Logo, a matriz X é .

2) Seja A = [aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A2.

Solução.

3) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir, são tais que sua soma é igual a:

a) - 3 b) - 2 c) - 1 d) 2 e) 3

Solução. Letra e.

Portanto, x = 4, y = 1 e z =  2. Então, x + y +z = 4 + 1  2 = 3.

4) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se I e 0 são, respectivamente, as matrizes identidade e nula, de ordem 2, é verdade que:

a) A + B ≠ B + A

b) (A. B).C = A.(B.C)

c) A.B = 0  A = 0 ou B = 0

d) A.B = B.A

e) A.I = I

Solução. Letra b.

Veja as propriedades das operações com matrizes no livro texto de matemática.

5) (UFF-2006) Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela (fig. 1).

De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades de vitamina B.

Considere nesta dieta:

x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.

y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.

Solução. Letra c.

A matriz M é a matriz transposta da matriz , então , pois

6) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2  j2 e bij =  i2 + j2, o valor de A  B é:

a) b) c) d)

Solução. Letra b.

e . Então

7) Sejam A e B as matrizes . Se C = A.B, então c22 vale:

a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258

Solução. letra d.

, e

Como pede-se apenas o elemento c22, não precisamos multiplicar todos os elementos das matrizes A e B. O elemento c22 é obtido operando-se os elementos da segunda linha da matriz A com os elementos da segunda coluna da matriz B. Assim, c22 =2.2 + 4.4 + 8.8 = 4 + 16 + 64 = 84.

8) Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pesquisar preços em três supermercados. A matriz P dos preços está representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por kg do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, respectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola.

Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado:

a) A. b) B. c) C. d) A ou B indiferentemente. e) A ou C indiferentemente.

Solução. Letra c

A dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado C.

9) A e B são matrizes e At é a matriz transposta de A. Se então a matriz At.B será nula para:

a) x + y = -3 b) x . y = 2 c) = - 4 d) x . y2 = -1 e) = - 8

Solução. Letra d.

Verificando as opções temos:

a) x + y = - 4 +1/2= - 3,5

b) x . y = ( - 4) .1/2 = - 2

c) x/y = - 4/(1/2) = - 4.2 = - 8

d) x . y2 = ( - 4) .(1/2)2 = ( - 4) .1/4 = - 1

e) y/x = (1/2)/ - 4 = (1/2) / (- ¼) = -1/ 8

Logo, a opção correta é a letra d.

10) (UFF-2011) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação