Algebra Linear

CURSO DE GRADUAÇÃO

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

TURMA A - 1º SEMESTRE

ÁLGEBRA LINEAR

ATPS – 2º BIMESTRE

(ETAPA 3 / 4)

Diego Barbosa Soares da Silva RA 3799569985

Hugo Tardelji Cardoso RA 4246844951

Jobson de Oliveira RA 3728721412

Marcos dos Santos Alves RA 4211807573

PROFª TÂNIA MARA AMORIM

SOROCABA

JUNHO/2012

SUMÁRIO

RESTRIÇÃO NA REGRA DE CRAMER __________________ 3

SOLUÇÃO ÚNICA ___________________________________ 5

USANDO A REGRA DE CRAMER ______________________ 6

DEFININDO SISTEMAS EQUIVALENTES ________________ 7

RESOLUÇÃO SISTEMA GAUSS JORDAN _______________ 9

BIBLIOGRAFIA ____________________________________ 10

 

RESTRIÇÃO NA REGRA DE CRAMER

A Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Os sistemas lineares são formados por um conjunto de equações lineares de m incógnitas. Todos os sistemas possuem uma representação matricial, isto é, constituem matrizes envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal. Observe a representação matricial do seguinte sistema: .

Matriz incompleta (coeficientes numéricos)

Matriz completa

Representação Matricial

A relação existente entre um sistema linear e uma matriz consiste na resolução de sistemas pelo método de Cramer.

Vamos aplicar a regra de Cramer na resolução do seguinte sistema: .

Aplicamos a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear. Nessa regra utilizamos Sarrus no cálculo do determinante das matrizes estabelecidas. Observe o determinante da matriz dos sistemas:

Regra de Sarrus: soma dos produtos da diagonal principal subtraída da soma dos produtos da diagonal secundária.

Substituir a 1ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.

Substituir a 2ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.

Substituir a 3ª coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.

De acordo com regra de Cramer, temos:

Portanto, o conjunto solução do sistema de equações é: x = 1, y = 2 e z = 3.

SOLUÇÃO ÚNICA

Solucionar sistema para que possua solução única é como exemplo abaixo:

x + 2y + z = 9 x + 2y + 2 = 9 (-5)

y + 2z = 7 (-2) 5x – y + 0 = 2

x + 2y + z = 9 -3x – 10y – 10 = -45

- 2y – 4z = - 14 3x – y + 0 = 2

-3z = -5 (-1) 11y – 10 = -43

z = 5 – 3 11y = -43 + 10

z = 2 y = 33

11

y = 3

x + 2y + z = 9

x + 2 . 3 + 2 = 9

x + 6 + 2 = 9

x = 9 – 6 – 2

x = 1

SPD – Sistema Possível Determinado

Conforme solicitado na ATPS, foi calculado o Sistema Linear nas incógnitas x, y e z para que se obtenha uma solução única. Esse sistema pode ser possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução).

Para resolver o sistema, utilizou-se do “Sistema de Escalonamento”, fixando como a primeira equação, possuindo o coeficiente da primeira incógnita diferente de zero.

Utilizou-se Sistema Equivalente, anulados os coeficientes da primeira incógnita da primeira equação e repetiram-se os demais, escalonando o sistema.

Com esta resolução, foi definido que o sistema linear é um Sistema Possível Determinado (S.P.D.).

 

USANDO A REGRA DE CRAMER

A= 1 2 1

0 1 2

5 -1 0

D= 1 2 1 1 2

0 1 2 0 1

5 -1 0 5 -1

D = -5+2+0+0+20+0

D = 22-5

D= 17

Ax= 9 2 1

7 1 2

2 -1 0

Dx= 9 2 1 9 2

7 1 2 7 1

2 -1 0 2 -1

Dx = -2+18+0+0+8-7

D = -2-7+18+8

D= 17