Algebra

FORUM 1

Considere a afirmação abaixo:

Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de E. A união W = W1 W2 = { wE / w 

W1 ou wW2 } é um subespaço de E.

Tal afirmação é sempre verdadeira? Se não é sempre verdade, dê exemplos e

determine condições para que sempre seja verdadeira.

Não. Por exemplo, em R^3 temos que W1 = (x, 0, 0) é W2 = (0, y, 0) são trivialmente espaços vetoriais, mas (1,0,0) + (0,1,0) = (1, 1, 0), que não pertence ao união e, por tanto, o + na união não é operação e a união não é espaço vetorial.

FORUM 2

Considere a afirmação abaixo:

Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de E. A interseção W = W1 W2 = {

wE / w W1 e wW2 } é um subespaço de E.

Comente: É possível dois subespaços W1 e W2 de um mesmo espaço vetorial

E serem disjuntos, isto é W1 W2 = ?

FORUM 3

Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial E. Então o

conjunto W = W1 + W2 = { v E ; v = 1 w + 2 w com , 1 w W1 e 2 w W2 } é um subespaço vetorial de E.

Comente: Sendo IR3 um espaço de dimensão 3, é possível escrevê-lo como

soma de dois subespaços de dimensão 2?

FORUM 4

Sejam W1 e W2 subespaço vetoriais de E. Diz-se que E é soma direta de

W1 e W2 e denotamos por E = W1 W2 , se valem as seguintes condições:

i) E = W1 + W2

ii) W1 W2 = { 0 }

Determine um subespaço W2 de IR3 tal que IR3 = W1 W2 onde W1 = {( x, y,z

)  IR3 / x - y – 3z = 0 }

l.