CALCULO II

CONCEITO E REGRAS DE DERIVAÇÃO

CALCULO II

GUARULHOS/2013

VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Diferente da velocidade média, a velocidade instantânea não é definida a partir do deslocamento de um ponto material, mas sim definida quando o intervalo de tempo em que se mede o deslocamento de um ponto material ou corpo é infinitamente pequeno.

Podemos entender como instante um intervalo de tempo pequeno que deve tender a zero

(Δt → 0). Isso porque para determinar a velocidade é preciso fazer a divisão da variação do espaço sobre o tempo.

Abaixo podemos verificar a função que resulta a velocidade instantânea:

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV)

O Movimento uniformemente variado é o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente no decorrer do tempo. O movimento caracteriza-se por haver uma aceleração constante e diferente de zero.

A função horária do movimento uniformemente variado (MUV) é:

Onde S é a posição de espaço ou distância percorrida pelo corpo; So é a posição inicial, onde ele iniciou o movimento; Vo é a velocidade inicial; a é a aceleração e o t é o tempo percorrido pelo corpo desde o início do movimento.

Agora a equação da velocidade em função do tempo é:

onde V é a velocidade atual, Vo é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo decorrido desde o início do movimento.

Se derivarmos a função horária f(x) = X = Xo +Vo.t + at²/2 temos como resultante a equação da velocidade em função do tempo, conforme abaixo:

f(x) = X¹ ̄ ¹ = Xo¹ ̄ ¹+Vo.1t¹ ̄ ¹ + 1.2 a.t² ̄ ¹ → f (x)̏ = Vo + a.t

ACELERAÇÃO

Podemos dizer que em fisica a aceleração é a variação da velocidade. Ela é uma grandeza vetorial de dimensão m/s²

Em relação a um referencial S, podemos dizer que o movimento de um ponto é “uniforme” . Nesse referencial o ponto se move com módulo da velocidade constante ou equivalentemente, se a sua aceleração é nula (caso seja retilíneo), ou seja, movimento que tem velocidade escalar constante em qualquer instante ou intervalo de tempo.

Em termos matemáticos, dezemos que dx/dt=a, ou seja, a aceleração é a resultante da derivação: f (x)̏ = Vo + a.t

Dado abaixo, o exemplo da função velocidade como derivada da função espaço, utilizando a somatória dos RAs como a aceleração:

4210799178 + 3708600235 + 4279832412 + 3773766498 + 4200078174 + 37307324476 + 5870173336 → a = 43m/s²

Tempo

(s) Velocidade Instantânea Aceleração Instantânea Espaço Espaço Inicial

0 0 43 0 0

1 0 43 21,5 0

2 0 43 86 0

3 0 43 193,5 0

4 0 43 344 0

5 0 43 537,5 0

A CONSTANTE DE EULER

Leonard Euler nasceu a 15 de Abril de 1707 em Basileia, Suíça.

Euler passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

Além disso, ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática. Sua imagem foi incluída à nota de dez francos suíços e selos postais. O asteroide 2002 Euler foi nomeado em sua homenagem. Ele também é homenageado pela Igreja Luterana em seu calendário em 24 de maio - ele era um devoto cristão.

Em 1741 mudou-se para Alemanha para assumir a posição na academia de Ciências de Berlim. Em 17 anos escreveu 866 obras apesar de já está cego.

A constante matemática e (algumas vezes chamada de número de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, ou constante de Napier em homenagem ao matemático escocês John Napier, que introduziu os logaritmos) é a base da função dos logaritmos naturais. Seu valor aproximado é:

e= 2,718281828459045235360287

SÉRIE HARMÔNICA

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de aspecto eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier.

A série harmônica é uma série infinita, composta de ondas senoidais